Đề thi Đại học khối A, A1 năm 2014 môn Toán: Đáp án và Bình luận

Đề thi Đại học môn Toán khối A, A1 năm 2014. Đang cập nhật.

Nhận xét chung: Đề thi môn Toán khối A năm 2014 có cấu trúc khác với mọi năm về trước có 9 câu, không có phần tự chọn. Điều này có thể làm thí sinh bỡ ngỡ. Các câu được sắp theo thứ tự từ dễ đến khó. Nhìn chung, đề thi khá dễ so với các năm trước. Thí sinh học khá có thể làm 7 điểm.
Lời giải Đề thi môn Toán khối A năm 2014 và Bình luận. Đang cập nhật.
Câu 1.
a) Rõ.

b) $M(-2;0)$ và $M(0,-2)$.
Câu 2.

Vậy $x=\pm\frac{\pi}{3}+k2\pi, k\in\mathbb{Z}$.
Câu 3.

Câu 4.
a) Phần thực bằng 2, phần ảo bằng -3.
b) Xác suất cần tìm là 1/26.
Câu 5.
Phương trình mặt phẳng cần tìm là $x+8y+5z+13=0$.
Câu 6.
$V=\frac{a^3}{3}$, $d(a, (SBD))=\frac{2a}{3}$.
Câu 7. Đặt $AB=a$, áp dụng định lí cosin cho tam giác $AMN$ ta có $a=4$.
Gọi $O(x_O, y_O)$ là tâm của hình vuông $ABCD$. Khi đó $OM=2$, $ON=\sqrt{2}$. Suy ra $O(1, 0)$ hoặc $O(\frac{11}{5},\frac{2}{5}$.
Từ đó có tọa độ điểm $C$.
Đáp số $x+4=0$ và $-3x+4y+15=0$.
Câu 8.
Điều kiện: $2 \leq y \leq 12$, $|x|\leq \sqrt{12}$
Áp dụng BĐT $ab\le \dfrac{a^2+b^2}{2}$, ta suy ra $$12=x\sqrt {12 - y} + \sqrt {y\left( {12 - {x^2}} \right)}\le \dfrac{x^2+12-y}{2}+\dfrac{y+12-x^2}{2}=12.$$
Suy ra $x=\sqrt{12-y}$.
Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

$x^3-8x-1=2\sqrt{10-x^2}$

$\Leftrightarrow (x^3-27)-(8x-24)+(2-2\sqrt{10-x^2}=0$

$\Leftrightarrow (x-3)(x^2+3x+9)-8(x-3)+\frac{2(x^2-9)}{1+\sqrt{10-x^2}}=0$

$\Leftrightarrow (x-3)\left ( x^2+3x+1+\frac{x+3}{1+\sqrt{10-x^2}} \right )=0$

Suy ra $x=3$ hoặc $x^2+3x+1+\frac{x+3}{1+\sqrt{10-x^2}=0$ (vô nghiệm).

Vậy $(x,y)=(3,3)$ là nghiệm duy nhất của hệ.

Câu 9.
Ta có $(x-y-z)^2 \geq 0 \Leftrightarrow 2= x^2+y^2+z^2 \geq 2xy+2xz-2yz$
$\Rightarrow 1 \geq xy+xz-yz \Rightarrow x^2+yz+x+1 \geq x^2+xy+xz+x$
$\Rightarrow \dfrac{x^2}{x^2+yz+x+1}\le \dfrac{x}{x+y+z+1}$
Do đó:
$P\le \dfrac{x+y+z}{x+y+z+1}-\dfrac{1+yz}{9}=1-\left(\dfrac{1}{x+y+z+1}+\dfrac{1+yz}{9}\right).$
Mặt khác $x+(y+z) \le \sqrt{2(x^2+(y+z)^2)}=2\sqrt{1+yz}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{x+y+z+1} \ge \dfrac{1}{2\sqrt{1+yz}+1}+\dfrac{1+yz}{9}.$
Đặt $t=\sqrt{1+yz}$, $t\geq 0$.
Từ $\dfrac{1}{2t+1}+\dfrac{t^2}{9}\ge \dfrac{4}{9} \Leftrightarrow (2t+5)(t-1)^2\geq 0$, $\forall t \geq 0$
ta được
$$P\le 1-\dfrac{4}{9}=\dfrac{5}{9}.$$ Dấu bằng xảy ra khi $x=1, y=1, z=0$ hoặc $x=1,y=0,z=1$.
Đáp án Chính thức Đề thi môn Toán khối A năm 2014 của Bộ giáo dục. Download.