Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi quốc gia Việt Nam - Phần 1

1. Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi quốc gia của trường THPT chuyên KHTN năm học 2014 - 2015
Ngày 1
Bài 1. Giải hệ phương trình
$$\left\{\begin{matrix} (4x-y^2)(x^2+2)=12x+1\\ (4y-z^2)(y^2+2)=12y+1\\ (4z-x^2)(z^2+2)=12z+1 \end{matrix}\right.$$
Bài 2. Tìm các số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn :
$$2^x+11=19^y$$
Bài 3. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Trên cung $BC$ không chứa A lấy hai điểm $M,N$ sao cho $MN//BC$ ( Tia $AM$ nằm giữa tia $AB$ và tia $AN$ ). Trên tia $BM,CN$ lấy điểm $P,Q$ sao cho $BP=BN=CM=CQ$. Đường thẳng $AM,AN$ cắt đường thẳng $PQ$ lần lượt tại $S,T$. $BT,CS$ lần lượt cắt cạnh $CQ,BP$ tại $L,K$. Chứng minh rằng $AK=AL$
Bài 4. Cho tập hợp $A=\begin{Bmatrix} 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \end{Bmatrix}$ Tìm số k lớn nhất sao cho có thể chọn được k tập con thỏa mãn hợp của 4 tập con bất kì không vượt quá 8 phần tử.
Ngày 2
Bài 1. Cho $a\in \begin{bmatrix} 0,1 \end{bmatrix}$ và dãy $\begin{Bmatrix} x_{n} \end{Bmatrix}$ thỏa mãn $x_{1}=\frac{a+1}{4}$ và $x_{n+1}=x_{n}^{2}+\frac{a}{4}$.
1. Chứng minh dãy $\begin{Bmatrix} x_{n} \end{Bmatrix}$ hội tụ.
2. Chứng minh rằng $x_{n}-b<\frac{1}{n}$ với $lim(x_{n})=b$
Bài 2. Tìm hàm $f:\mathbb{Z}^+\rightarrow \mathbb{Z}^+$ thỏa mãn :
$$f(m^2+f(n))=f(m)^2+n$$
Bài 3. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ ngoại tiếp $(I)$. Trung tuyến $AM$. Qua M kẻ đường thằng vuông góc với $BI,CI$ cắt $AB,AC$ tại $F,E$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $\bigtriangleup MEF$ cắt cạnh $BC$ tại điểm D khác M. Lấy $S$ là trung điểm cung $BC$ chứa $A$. Đường thẳng qua $D$ vuông góc với $BC$ cắt đường thẳng qua $S$ song song với $OI$ tại $T$. Gọi $K,L$ lần lượt là đối xứng của $T$ qua $E,F$. Chứng minh rằng $CK,BL,ST$ đồng quy tại một điểm trên $(O)$
Bài 4. Cho tập hợp $S=\begin{Bmatrix} 1,2,3,.......,2014 \end{Bmatrix}$. Hỏi có bao nhiêu hàm $f:S\rightarrow S$ thỏa mãn $f(n)\leqslant n \vee n\in S$

Đề thi chọn đội tuyển Quốc Gia Tp. HCM 2014 - 2015

Ngày 2

Bài 1. Tìm đa thức $P(x)$ khác đa thức không sao cho $[P(x)]^n=P(x^n)$ với $\forall x\in\mathbb R$ và $n\ge 1$.

Bài 2. Có bao nhiêu số tự nhiên có 10 chữ số khác nhau trong đó các chữ số $1,2,3,4,5$ được sắp xếp theo thứ tự đó từ trái qua phải nhưng các số $1,2,3,4,5,6$ thì không.

Bài 3. Cho số nguyên tố $p$. Gọi $a_p$ là hệ số của $n^p$ trong $\sum_{k=0}^pC_p^k (n+2014)^{n+p}$. Chứng minh rằng $a_p\equiv 2014^p+2015^p (mod p^2)$.

Bài 4. Cho $\Delta ABC$ nhọn $(AB<AC)$, đường cao $AL, BD, CE$ cắt nhau tại $H$. Đường tròn $(O)$ đi qua $A,E$ tiếp xúc $BC$ tại $M$. Gọi $K$ là giao điểm của $ME$ với đường tròn $(AED)$ và $M$ là giao điểm của $KD$ với $BC$. Chứng minh $MH, KL, AN$ đồng quy.

Bài 5. Cho $A=\{a_1,a_2,...,a_n\}$ với $2\le n\le 2014$ và $a_i\le 2014$ sao cho nếu tồn tại $(a_i+a_j)\le 2014$ thì $(a_i+a_j)\in A$. Chứng minh rằng $\dfrac{a_1+a_2+...+a_n}{2}\ge \dfrac{2015}{2}$.

Đề thi chọn đội tuyển HSG QG tỉnh Lâm Đồng năm học 2014-2015

Câu 1. Giải hệ phương trình :

$$\left\{\begin{matrix}(x+y)^3-27x=5(\sqrt[3]{32x-15}-3-y)\\ 2x^3=y(y^2+x^2)\end{matrix}\right.$$

Câu 2. Cho dãy số $(u_n)$ xác định như sau:
$\left\{\begin{matrix}u_1=1\\ u_{n+1}=u_n^{2015}+3u_n^{2014}+u_n \end{matrix}\right.$ với mọi $n=1,2,3,...$

Tính
$$\lim \frac{u_1^{2014}}{u_2+3}+\frac{u_2^{2014}}{u_3+3}+\frac{u_3^{2014}}{u_4+3}...+\frac{u_n^{2014}}{u_{n+1}+3}$$

Câu 3. Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$

Chứng minh rằng : $$a^3+b^3+c^3+2\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right) \geq 3(ab+bc+ca)$$

Câu 4. Cho đường tròn $(C_1)$ tâm $I$ . Lấy điểm $O$ trên $(C_1)$ , dưng đường tròn $(C_2)$ tâm $O$ cắt $(C_1)$ tại $C$ và $D.$ Tiếp tuyến với $(C_2)$ tại $C$ cắt $(C_1)$ tại $A$ và tiếp tuyến với $(C_1)$ tại $C$ cắt $(C_2)$ tại $B.$ Đường thẳng $AB$ cắt $(C_1)$ tại $F(F\neq A) $ và cắt $(C_2)$ tại $E(E \neq B).$ Đường thẳng $CE$ cắt $(C_1)$ tại $G(G \neq C),$ đường thẳng $CF$ cắt đường thẳng $GD$ tại $H.$

1) Chứng minh $CG$ song song với $FD.$

2) Chứng minh tam giác $EGD$ cân.

3) Chứng minh $CH$ là đường trung trực của $FD.$

Câu 5. Từ các chữ số $1,3,5,9$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho $3,$ mỗi số gồm $2014$ chữ số.

Đề thi chọn đội tuyển HSG dự thi QG tỉnh Phú Thọ năm học 2014-2015
Ngày 1.
Câu 1. Cho dãy số $\left ( x_n \right )$ xác định bởi : $\left\{\begin{matrix} x_1=1\\ x_{n+1}=\frac{n+1}{n+2}x_n+n^2 \end{matrix}\right.$ với $n=1,2,3...$
Tính giới hạn : $$\lim_{n\rightarrow +\propto }\left ( \frac{\sqrt[3]{x_n}}{1+n} \right )$$
Câu 2. Tìm tất cả đa thức $P(x)$ với hệ số thỏa mãn
$$2P^3\left ( x \right )-3=-P\left ( x^3-1 \right ),\forall x$$
Câu 3. Cho 3 điểm $A,B,C$ theo thứ tự thuộc đường thẳng $d$, $M$ là một điểm duy nhất thay đổi trên đường thẳng qua $C$ và vuông góc với $d$. Từ $M$ vẽ các tiếp tuyến $MD,ME$ đến đường tròn đường kính $AB$, trong đó $D,E$ là các tiếp điểm . Chứng minh trực tâm $H$ của tam giác $MDE$ thuộc một đường tròn cố định.
Câu 4. Trong một kỳ thi có 30 thí sinh và 5 giám khảo. Mỗi giám khảo đánh giá từng thí sinh và cho kết luận thí sinh đó đỗ hay trượt. Giả sử $k$ là một số thỏa mãn điều kiện. Với hai giám khảo bất kỳ , số thi sinh mà họ cho kết luận giống nhau nhiều nhất là $k$. Chứng minh rằng : $k\geq 12$.
Ngày 2
Câu 5. Cho số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn : $x^2+y^2+z^2=2$. Tìm giá trị lớn nhất của :
$$M=\frac{x^2}{x^2+yz+x+1}+\frac{y+z}{z+y+x+1}+\frac{1}{xyz+3}$$
Câu 6. Tìm các số nguyên $x,y$ thỏa mãn:$\left ( x-1 \right )\left ( y^5+y^2-2y \right )=x^{11}-1$
Câu 7. Trong một bảng ô vuông kích thước $999 \times 999$, mỗi ô được tô bởi một trong 2 màu trắng hoặc đỏ. Gọi $T$ là số bộ $(C_1,C_2,C_3)$ các ô mà hai ô đầu trong cùng 1 hàng và hai ô cuối cùng 1 cột, với $C_1$ và $C_2$ màu trắng, $C_3$ màu đỏ.
Tìm giá trị lớn nhất của $T$.
Đề thi học sinh giỏi tỉnh Tuyên Quang 2014 - 2015