Ra đời từ thế kỷ thứ III trước Công nguyên, ngày nay, hình học Euclid
vẫn được sử dụng rộng rãi trong các trường học trên toàn thế giới. Hệ
tiên đề của Euclid gồm 23 định nghĩa, 5 tiên đề và 5 định đề, được coi
là mẫu mực về cách xây dựng một lý thuyết trong khoa học.
Năm 12 tuổi, khi được tặng cuốn sách này, nhà bác học tương lai Albert Einstein đã nhận xét rằng "Sự sáng sủa và chắc chắn đó đã mang lại cho tôi một ấn tượng khó tả". Về sau, ông khuyên tất cả những ai muốn đi theo con đường nghiên cứu khoa học nên đọc kỹ nó.
Trong hệ tiên đề của hình học Euclid, định đề V về đường thẳng song song gây ra sự hoài nghi của nhiều thế hệ các nhà toán học. Nội dung của nó được thể hiện qua hình vẽ: Nếu tổng hai góc a và b nhỏ hơn 180 độ thì hai đường thẳng x và y sẽ cắt nhau. Sự hoài nghi tập trung ở điểm: Có thể chứng minh được định đề V này hay không? Nhiều người đã cố công tìm cách chứng minh. Trong hơn 2000 năm, biết bao tài năng toán học dành cả đời mình cho định đề này nhưng đều thất bại.
Đến thế kỷ XIX, đồng thời cả 3 nhà toán học ở Châu Âu độc lập với nhau cùng giải quyết được định đề này, theo cùng một hướng là phủ định định đề V. Bao công lao tìm cách giải bài toán trước đó đều lãng phí vô ích vì lý thuyết mới khẳng định không thể chứng minh được. Ở đây, có một điều gần như là chân lý trong khoa học: Trình độ khám phá khoa học của loài người nói chung là như nhau với mọi nền văn minh, nếu ở đâu đó có người khám phá được một kết quả khoa học mới thì ở một vùng rất xa nó, cũng sẽ có người khác tìm ra, chỉ nhanh chậm hơn nhau một vài năm mà thôi. Điều này làm cho ngày nay một số định lý, định luật phải lấy tên của hai đến ba nhà khoa học khác nhau hoặc tên gọi khác nhau ở từng quốc gia.
Trở lại với ba nhà toán học đã cùng phủ định định đề V. Người đầu tiên sau này nhân loại công nhận là Carl Friedrich Gauss, một nhà bác học vĩ đại người Đức. Trong thư gửi Tolinos, một người bạn của mình năm 1824, ông đã khẳng định: "Tổng ba góc trong một tam giác phẳng phải nhỏ hơn 180 độ, giả định này sẽ dẫn đến những đặc thù khác hoàn toàn với hình học của chúng ta. Tôi phát triển nó và thu được những kết quả hoàn toàn khiến ta hài lòng". Cũng trong một bức thư khác gửi Frants Adonf Taurinus, ông cũng chứng tỏ mình hiểu rõ các ý niệm quan trọng, tuy rời rạc, của hình học phi Euclid. Sau này, ông cũng khẳng định trong thư gửi F. Bolyai rằng ông đã tìm hiểu và khám phá hình học này trong hơn 30 năm. Tiếc rằng ông đã không công bố nó. Vì sao?
Chuyện kể rằng, vào năm 1823, Earkas Bolyai (1775 - 1858) đã viết thư cho người con trai là Janos Bolyai (1802 - 1860) người Hungary rằng : “Con đừng đi vào con đường mà bố đã đi, đừng nhảy vào “hang không đáy” đã nuốt hết trí tuệ, tinh lực và tâm huyết của bố”.
Đây là lời khuyên từ đáy lòng, từ trách nhiệm của người bố đã suốt cả cuộc đời nghiên cứu Định đề 5 của Euclide mà không thành công. Khi biết con mình yêu thích nghiên cứu “lí thuyết các đường song song” thì F. Bolyai đã rất sợ hãi và đã viết cho con mình (trong một bức thư khác) như sau: “Con sẽ không thể nào chiến thắng được lí thuyết các đường song song bằng con đường ấy. Bố đã đi đến cuối con đường ấy và đã lạc vào một đêm đen dày đặc, một tia sáng của ngọn nến cũng không có và đã chôn vùi đó bao niềm hạnh phúc của đời mình. Khi lao vào các học thuật cô quạnh về các đường song song, con sẽ chẳng còn gì cả. Con hãy lẩn tránh nó như lẫn tránh những dục vọng thấp hèn, nó sẽ làm hao mòn sức lực của con, cướp đi sự an nhàn, quấy đảo sự yên tĩnh và sẽ giết chết những niềm vui của cuộc sống. Bóng tối mịt mùng sẽ nuốt chửng cả những chòi tháp khổng lồ và sẽ chẳng có lóe sáng trên trái đất tối tăm: Chẳng bao giờ con người có thể đạt tới một sự thực hoàn mỹ ngay chính trong hình học. Chúa trời hãy cứu vớt con khói những ham mê con ôm ấp...”.
Nhưng F. Bolyai không ngờ rằng câu nói của chính ông trước đây đã làm J. Bolyai bị thu hút vào vấn đề này (câu nói đó có nội dung như sau : “Ai chứng minh được tiên đề về các đường thẳng song song, người đó sẽ sáng ngời như một viên kim cương to bằng Trái Đất”). Và chàng J. Bolyai trẻ tuổi đã không vì những lời cảnh báo của bố mình mà lùi bước, Tránh những thất bại của những người đi trước, J. Bolyai đã đi theo con đường của riêng mình. Ông đã không tìm cách chứng minh Định đề 5 của Euclide mà đã xét nó như một tiên đề độc lập. Và khi phủ định Định đề 5 của Euclide, J. Bolyai đã xây dựng được một hệ thống hình học mới (mà về sau còn được gọi là Hình học phi Euclide). Các kết quả về hình học này của ông cũng phong phú và những chứng minh của ông rất hoàn thiện.
Định đề 5 của Eclide được phát biểu trong cuốn “nguyên lí” như sau: Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng khác tạo thành hai góc trong cùng phía có tổng bé hơn hai góc vuông thì khi kéo dài vô hạn hai đường thẳng này, chúng sẽ cắt nhau về phía hai góc đó
J. Bolyai là một nhà toán học thiên tài, nhưng bị đố kị, chê bai và bị cả những điều đơm đặt về ông. Cuộc sống cửa J. Bolyai luôn bị bọn quý tộc chèn ép, bao vây cả về tinh thần lẫn vật chất. Người bồ chính là một nhà toán học đầy tâm huyết và rất thương con, nhưng từ bài học sai lầm rút ra từ chính cuộc đời nghiên cứu toán học của mình, F. Bolyai đã vô tình trở thành vật cản của con trên con đường tìm tòi, sáng tạo.
Năm 1831, J. Bolyai đã công bố công trình của mình dưới dạng phụ lục ở mỗi cuốn sách của bố mình. Phụ lục trình bày học thuyết tuyệt đối đúng về không gian”. F. Bolyai đã viết thư cho.Can Friedrick Gauss (1777 - 1855), đề nghị Gauss cho nhận xét về công trình nghiên cứu của J. Bolyai.
Trong thư trả lời, Gauss đã nói rằng ông không thể ngợi khen công trình đó, vì như thế tức là tự khen mình: Ông nói rằng tư tưởng của J. Bolyai trong phụ lục chính là tư tưởng của ông trong nhiều năm trước đây. Sau,đó, Gauss đã viết thư cho Goling với ý cho rằng nhà toán học trẻ tuổi J. Bolyai là một thiên tài.
Phải nói rằng lời đánh giá trên đây của nhà toán học lỗi lạc Gauss là hoàn toàn chân thực. Thật vậy, từ năm 1824, trong thư gửi cho người bạn là Tolinos, Gauss đã viết: “Tổng ba góc trong một tam giác phẳng phải nhỏ hơn 1800 giả định này sẽ dẫn đến những đặc thù khác hoàn toàn với hình học của chúng ta. Tôi phát triển nó và thu được những kết quả hoàn toàn khiến ta hài lòng. Và bức thư nổi tiếng mà Gauss đã gửi Flants Adonf Taurinus cũng chứng tỏ rằng, Gauss đã nắm được các ý niệm quan trọng của Hình học phi Euclide. Nhưng đó mới chỉ là những đoạn rời rạc, những phát kiến mặc dù đã rất sâu sắc. Tuy nhiên, lúc bấy giờ Gauss đã không công bố những kết quả nghiên cứu này của mình.
Thư trả lời của Gauss đã làm cho J. Bolyai có những hiểu lầm lớn. J. Bolyai nghĩ rằng Gauss, đã dùng uy danh của mình để cướp đi quyền phát minh về hệ thống hình học mới của ông. Vì thế, J. Bolyai rất đau lòng và đã thề rằng sẽ vứt bỏ mọi nghiên cứu toán học. Tháng 10 - 1848, J. Bollai đã được bố mình gửi cho luận văn : “Nghiên cứu về lí thuyết các đường song song” của N. I. Lobachevski, xuất bản bằng tiếng Đức năm 1840. J. Bolyai đã ngạc nhiên, vì thấy rằng N. I. Lobachevski cũng đã đi đến những kết quả giống như mình và J. Bolyai cũng rất khâm phục tài năng của N. I. Lobachevski.
Cùng thời với J. Bolyai, ở Cadan (Thủ đô của nước cộng hòa tự trị Tacta thuộc Liên Bang Nga), đã xuất hiện một ngôi sao sáng, đó là nhà toán học thiên tài Nicolai Ivanovich Lobachevski (1792 - 1856). N. I. Lobachevski đã từng là giáo sư xuất xắc, Hiệu trưởng của Trường Đại học Tổng hợp Cadan. Ông đã tìm cách chứng minh rằng, từ các định đề và tiên đề khác của Hình học Euclide cổ điển, không thể suy ra Định đề 5.
Để chứng minh điều đó, ông đã giữ nguyên các định đề và tiên đề khác của Hình học Euclide cổ điển và thay thế Định đề 5 bằng một tiên đề phủ định của tiên đề Euclide, và do đó cũng là phủ định của Định đề 5. Ngày nay, tiên đề này được gọi là tiên đề Lobachevski. Tiên đề này có nội dung như sau : “Trong mặt phẳng, qua một điểm không nằm trên một đường thẳng cho trước, có ít nhất hai đường thẳng không cắt đường thẳng đã cho”. Rồi từ đó, Lobachevski đã xây dựng nên một hình học mới không có mâu thuẫn. Những kết quả của hình học mới này “trái mắt”, trái với trực quan hàng ngày của chúng ta, trái với hình học Euclide quen thuộc.
Ngày 11 - 2 - 1826, Lobachevski đã công bố kết quả của mình về Hình học phi Euclide trên diễn đàn Vật lí - Số học của Trường Đại học Tổng hợp Cadan. Sau đó, công trình nghiên cứu về Hình học phi Euclide của Lobachevski với tiêu đề “Về các cơ sở Hình học”, đã được đăng ở tờ báo “Thông báo Cadan” năm 1829. Còn công trình của J. Bolyai về Hình học phi Euclide được công bố vào năm 1831 (độc lập với Lobachevski). Ngày nay, chúng ta gọi Hình học phi Euclide (do Lobachevski và J. Bolyai đã độc lập với nhau và đồng thời tìm ra) là Hình học Lobachevski hoặc Hình học Lobachevski - Bolyai. Ngày 11 - 2 - 1826 được thế giới gọi là ngày ra đời của hình học này.
Trong thời đại của Lobachevski, hầu như không ai hiểu được tư tưởng của ông, nhiều người đã chế nhạo ông. Nhưng Lobachevski đã dũng cảm và tin tưởng phát triển hình học mới của mình. Ông đã kiên trì nghiên cứu và công bố công trình nghiên cứu của mình ngày càng chi tiết hơn, đầy đủ hơn. Một năm trước khi qua đời, Lobachevski đã bị mù. Khi đó ông còn đọc cho học trò của mình chép một công trình sáng tạo mới mang tên “Hình học phẳng”, trong đó ông đã chỉ rõ Hình học Euclide chỉ là trường hợp giới hạn của Hình học phi Euclide của ông. Lobachevski đã gửi công trình cuối cùng này cho Trường Đại học Tổng hợp Cadan - nơi cả cuộc đời sáng tạo của ông đã trôi qua ở đó.
Ngày 24 - 2 - 1856, Lobachevski đã qua đời, vài chục năm sau người ta mới công nhận toàn bộ những tư tưởng của ông.
Công trình nghiên cứu của Lobachevski và J. Bolyai về Hình học phi Euclide là một thành tựu vĩ đại của khoa học, đã mở ra một kỉ nguyên mới cửa Toán học, của Vật lí và của nhiều ngành khoa học khác có liên quan.
Vào năm 1882, nhà toán học H. J. Poincare đã xây dựng được một mô hình (gọi là mô hình Poincare) của Hình học Lobachevski phẳng, khi sử dụng các “vật liệu” lấy từ Hình học Euclide phẳng.
Trong mặt phẳng Euclide, lấy một đường thẳng x nằm ngang, chia mặt phẳng thành hai miền, mà ta gọi là “nửa trên” và “nửa dưới”. Ta có các quy ước sau đây về các khái niệm cơ bản của Hình học Lobachevski phẳng : “Điểm” là điểm Euclide thông thường thuộc “nửa trên” và không thuộc x; “Đường thẳng” là nửa đường tròn thông thường thuộc “nửa trên” và có tâm thuộc x, hoặc là tia thông thường thuộc nửa trên, có gốc thuộc x và vuông góc với x.
Tiếp tục, trong mô hình này, xác định rõ ý nghĩa của các khái niệm cơ bản khác, mà cụ thể là các tương quan cơ bản sau đây: “thuộc”, “ở giữa”, “bằng nhau” (còn gọi là “toàn đẳng”), trong đó “thuộc” và “ở giữa” được hiểu như thông thường.
Người ta đã kiểm nghiệm tất cả các tiên đề của Hình học Lobachevski đổi với mô hình nêu trên, và thấy rằng mô hình đã thỏa mãn tất cả các tiên đề đó.
Thêm vào những điều ở trên, ta có định lí sau đây của Hình học Lobachevski: “Tổng ba góc trong của một tam giác thỏ hơn hai góc vuông”.
Việc xây dựng thành công mô hình của Hình học Lobachevski đã chứng minh:
a) Hình học Lobachevski là phi mâu thuẫn.
b) Từ các tiên đề khác của Hình học Euclide không thể suy ra được tiên đề Euclide.
Hình học Lobachevski không phải là Hình học phi Euclid duy nhất. Hình học Riemann theo nghĩa hẹp của Georg Friedrich Berhard Rienmann (1826 - 1866) người Đức cũng là Hình học phi Euclid. Để có được hệ tiên đề của Hình học Riemann nghĩa hẹp, phải thay đổi hệ tiên đề của Hình học Euclide nhiều hơn là những thay đổi mà Lobachevski đã thực hiện.
Ngoài các hình học vừa nêu, còn nhiều hình học khác, trong đó có Hình học fractal. Thuật ngữ fractal do nhà toán học Benoit Mandtelbrot người Pháp, gốc Ba Lan, đề nghị từ những năm 1970. Tuy mới ra đời nhưng hình học này đã phát triển nhanh chóng, gắn liền với đồ họa vi tính, có nhiều ứng dụng trong phân tích vá tổng hợp hình, trong việc xây dựng mô hình của các quá trình địa lí, quá trình sinh học
Năm 12 tuổi, khi được tặng cuốn sách này, nhà bác học tương lai Albert Einstein đã nhận xét rằng "Sự sáng sủa và chắc chắn đó đã mang lại cho tôi một ấn tượng khó tả". Về sau, ông khuyên tất cả những ai muốn đi theo con đường nghiên cứu khoa học nên đọc kỹ nó.
Trong hệ tiên đề của hình học Euclid, định đề V về đường thẳng song song gây ra sự hoài nghi của nhiều thế hệ các nhà toán học. Nội dung của nó được thể hiện qua hình vẽ: Nếu tổng hai góc a và b nhỏ hơn 180 độ thì hai đường thẳng x và y sẽ cắt nhau. Sự hoài nghi tập trung ở điểm: Có thể chứng minh được định đề V này hay không? Nhiều người đã cố công tìm cách chứng minh. Trong hơn 2000 năm, biết bao tài năng toán học dành cả đời mình cho định đề này nhưng đều thất bại.
Đến thế kỷ XIX, đồng thời cả 3 nhà toán học ở Châu Âu độc lập với nhau cùng giải quyết được định đề này, theo cùng một hướng là phủ định định đề V. Bao công lao tìm cách giải bài toán trước đó đều lãng phí vô ích vì lý thuyết mới khẳng định không thể chứng minh được. Ở đây, có một điều gần như là chân lý trong khoa học: Trình độ khám phá khoa học của loài người nói chung là như nhau với mọi nền văn minh, nếu ở đâu đó có người khám phá được một kết quả khoa học mới thì ở một vùng rất xa nó, cũng sẽ có người khác tìm ra, chỉ nhanh chậm hơn nhau một vài năm mà thôi. Điều này làm cho ngày nay một số định lý, định luật phải lấy tên của hai đến ba nhà khoa học khác nhau hoặc tên gọi khác nhau ở từng quốc gia.
Trở lại với ba nhà toán học đã cùng phủ định định đề V. Người đầu tiên sau này nhân loại công nhận là Carl Friedrich Gauss, một nhà bác học vĩ đại người Đức. Trong thư gửi Tolinos, một người bạn của mình năm 1824, ông đã khẳng định: "Tổng ba góc trong một tam giác phẳng phải nhỏ hơn 180 độ, giả định này sẽ dẫn đến những đặc thù khác hoàn toàn với hình học của chúng ta. Tôi phát triển nó và thu được những kết quả hoàn toàn khiến ta hài lòng". Cũng trong một bức thư khác gửi Frants Adonf Taurinus, ông cũng chứng tỏ mình hiểu rõ các ý niệm quan trọng, tuy rời rạc, của hình học phi Euclid. Sau này, ông cũng khẳng định trong thư gửi F. Bolyai rằng ông đã tìm hiểu và khám phá hình học này trong hơn 30 năm. Tiếc rằng ông đã không công bố nó. Vì sao?
Chuyện kể rằng, vào năm 1823, Earkas Bolyai (1775 - 1858) đã viết thư cho người con trai là Janos Bolyai (1802 - 1860) người Hungary rằng : “Con đừng đi vào con đường mà bố đã đi, đừng nhảy vào “hang không đáy” đã nuốt hết trí tuệ, tinh lực và tâm huyết của bố”.
Đây là lời khuyên từ đáy lòng, từ trách nhiệm của người bố đã suốt cả cuộc đời nghiên cứu Định đề 5 của Euclide mà không thành công. Khi biết con mình yêu thích nghiên cứu “lí thuyết các đường song song” thì F. Bolyai đã rất sợ hãi và đã viết cho con mình (trong một bức thư khác) như sau: “Con sẽ không thể nào chiến thắng được lí thuyết các đường song song bằng con đường ấy. Bố đã đi đến cuối con đường ấy và đã lạc vào một đêm đen dày đặc, một tia sáng của ngọn nến cũng không có và đã chôn vùi đó bao niềm hạnh phúc của đời mình. Khi lao vào các học thuật cô quạnh về các đường song song, con sẽ chẳng còn gì cả. Con hãy lẩn tránh nó như lẫn tránh những dục vọng thấp hèn, nó sẽ làm hao mòn sức lực của con, cướp đi sự an nhàn, quấy đảo sự yên tĩnh và sẽ giết chết những niềm vui của cuộc sống. Bóng tối mịt mùng sẽ nuốt chửng cả những chòi tháp khổng lồ và sẽ chẳng có lóe sáng trên trái đất tối tăm: Chẳng bao giờ con người có thể đạt tới một sự thực hoàn mỹ ngay chính trong hình học. Chúa trời hãy cứu vớt con khói những ham mê con ôm ấp...”.
Nhưng F. Bolyai không ngờ rằng câu nói của chính ông trước đây đã làm J. Bolyai bị thu hút vào vấn đề này (câu nói đó có nội dung như sau : “Ai chứng minh được tiên đề về các đường thẳng song song, người đó sẽ sáng ngời như một viên kim cương to bằng Trái Đất”). Và chàng J. Bolyai trẻ tuổi đã không vì những lời cảnh báo của bố mình mà lùi bước, Tránh những thất bại của những người đi trước, J. Bolyai đã đi theo con đường của riêng mình. Ông đã không tìm cách chứng minh Định đề 5 của Euclide mà đã xét nó như một tiên đề độc lập. Và khi phủ định Định đề 5 của Euclide, J. Bolyai đã xây dựng được một hệ thống hình học mới (mà về sau còn được gọi là Hình học phi Euclide). Các kết quả về hình học này của ông cũng phong phú và những chứng minh của ông rất hoàn thiện.
Định đề 5 của Eclide được phát biểu trong cuốn “nguyên lí” như sau: Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng khác tạo thành hai góc trong cùng phía có tổng bé hơn hai góc vuông thì khi kéo dài vô hạn hai đường thẳng này, chúng sẽ cắt nhau về phía hai góc đó
J. Bolyai là một nhà toán học thiên tài, nhưng bị đố kị, chê bai và bị cả những điều đơm đặt về ông. Cuộc sống cửa J. Bolyai luôn bị bọn quý tộc chèn ép, bao vây cả về tinh thần lẫn vật chất. Người bồ chính là một nhà toán học đầy tâm huyết và rất thương con, nhưng từ bài học sai lầm rút ra từ chính cuộc đời nghiên cứu toán học của mình, F. Bolyai đã vô tình trở thành vật cản của con trên con đường tìm tòi, sáng tạo.
Năm 1831, J. Bolyai đã công bố công trình của mình dưới dạng phụ lục ở mỗi cuốn sách của bố mình. Phụ lục trình bày học thuyết tuyệt đối đúng về không gian”. F. Bolyai đã viết thư cho.Can Friedrick Gauss (1777 - 1855), đề nghị Gauss cho nhận xét về công trình nghiên cứu của J. Bolyai.
Trong thư trả lời, Gauss đã nói rằng ông không thể ngợi khen công trình đó, vì như thế tức là tự khen mình: Ông nói rằng tư tưởng của J. Bolyai trong phụ lục chính là tư tưởng của ông trong nhiều năm trước đây. Sau,đó, Gauss đã viết thư cho Goling với ý cho rằng nhà toán học trẻ tuổi J. Bolyai là một thiên tài.
Phải nói rằng lời đánh giá trên đây của nhà toán học lỗi lạc Gauss là hoàn toàn chân thực. Thật vậy, từ năm 1824, trong thư gửi cho người bạn là Tolinos, Gauss đã viết: “Tổng ba góc trong một tam giác phẳng phải nhỏ hơn 1800 giả định này sẽ dẫn đến những đặc thù khác hoàn toàn với hình học của chúng ta. Tôi phát triển nó và thu được những kết quả hoàn toàn khiến ta hài lòng. Và bức thư nổi tiếng mà Gauss đã gửi Flants Adonf Taurinus cũng chứng tỏ rằng, Gauss đã nắm được các ý niệm quan trọng của Hình học phi Euclide. Nhưng đó mới chỉ là những đoạn rời rạc, những phát kiến mặc dù đã rất sâu sắc. Tuy nhiên, lúc bấy giờ Gauss đã không công bố những kết quả nghiên cứu này của mình.
Thư trả lời của Gauss đã làm cho J. Bolyai có những hiểu lầm lớn. J. Bolyai nghĩ rằng Gauss, đã dùng uy danh của mình để cướp đi quyền phát minh về hệ thống hình học mới của ông. Vì thế, J. Bolyai rất đau lòng và đã thề rằng sẽ vứt bỏ mọi nghiên cứu toán học. Tháng 10 - 1848, J. Bollai đã được bố mình gửi cho luận văn : “Nghiên cứu về lí thuyết các đường song song” của N. I. Lobachevski, xuất bản bằng tiếng Đức năm 1840. J. Bolyai đã ngạc nhiên, vì thấy rằng N. I. Lobachevski cũng đã đi đến những kết quả giống như mình và J. Bolyai cũng rất khâm phục tài năng của N. I. Lobachevski.
Cùng thời với J. Bolyai, ở Cadan (Thủ đô của nước cộng hòa tự trị Tacta thuộc Liên Bang Nga), đã xuất hiện một ngôi sao sáng, đó là nhà toán học thiên tài Nicolai Ivanovich Lobachevski (1792 - 1856). N. I. Lobachevski đã từng là giáo sư xuất xắc, Hiệu trưởng của Trường Đại học Tổng hợp Cadan. Ông đã tìm cách chứng minh rằng, từ các định đề và tiên đề khác của Hình học Euclide cổ điển, không thể suy ra Định đề 5.
Để chứng minh điều đó, ông đã giữ nguyên các định đề và tiên đề khác của Hình học Euclide cổ điển và thay thế Định đề 5 bằng một tiên đề phủ định của tiên đề Euclide, và do đó cũng là phủ định của Định đề 5. Ngày nay, tiên đề này được gọi là tiên đề Lobachevski. Tiên đề này có nội dung như sau : “Trong mặt phẳng, qua một điểm không nằm trên một đường thẳng cho trước, có ít nhất hai đường thẳng không cắt đường thẳng đã cho”. Rồi từ đó, Lobachevski đã xây dựng nên một hình học mới không có mâu thuẫn. Những kết quả của hình học mới này “trái mắt”, trái với trực quan hàng ngày của chúng ta, trái với hình học Euclide quen thuộc.
Ngày 11 - 2 - 1826, Lobachevski đã công bố kết quả của mình về Hình học phi Euclide trên diễn đàn Vật lí - Số học của Trường Đại học Tổng hợp Cadan. Sau đó, công trình nghiên cứu về Hình học phi Euclide của Lobachevski với tiêu đề “Về các cơ sở Hình học”, đã được đăng ở tờ báo “Thông báo Cadan” năm 1829. Còn công trình của J. Bolyai về Hình học phi Euclide được công bố vào năm 1831 (độc lập với Lobachevski). Ngày nay, chúng ta gọi Hình học phi Euclide (do Lobachevski và J. Bolyai đã độc lập với nhau và đồng thời tìm ra) là Hình học Lobachevski hoặc Hình học Lobachevski - Bolyai. Ngày 11 - 2 - 1826 được thế giới gọi là ngày ra đời của hình học này.
Trong thời đại của Lobachevski, hầu như không ai hiểu được tư tưởng của ông, nhiều người đã chế nhạo ông. Nhưng Lobachevski đã dũng cảm và tin tưởng phát triển hình học mới của mình. Ông đã kiên trì nghiên cứu và công bố công trình nghiên cứu của mình ngày càng chi tiết hơn, đầy đủ hơn. Một năm trước khi qua đời, Lobachevski đã bị mù. Khi đó ông còn đọc cho học trò của mình chép một công trình sáng tạo mới mang tên “Hình học phẳng”, trong đó ông đã chỉ rõ Hình học Euclide chỉ là trường hợp giới hạn của Hình học phi Euclide của ông. Lobachevski đã gửi công trình cuối cùng này cho Trường Đại học Tổng hợp Cadan - nơi cả cuộc đời sáng tạo của ông đã trôi qua ở đó.
Ngày 24 - 2 - 1856, Lobachevski đã qua đời, vài chục năm sau người ta mới công nhận toàn bộ những tư tưởng của ông.
Công trình nghiên cứu của Lobachevski và J. Bolyai về Hình học phi Euclide là một thành tựu vĩ đại của khoa học, đã mở ra một kỉ nguyên mới cửa Toán học, của Vật lí và của nhiều ngành khoa học khác có liên quan.
Vào năm 1882, nhà toán học H. J. Poincare đã xây dựng được một mô hình (gọi là mô hình Poincare) của Hình học Lobachevski phẳng, khi sử dụng các “vật liệu” lấy từ Hình học Euclide phẳng.
Trong mặt phẳng Euclide, lấy một đường thẳng x nằm ngang, chia mặt phẳng thành hai miền, mà ta gọi là “nửa trên” và “nửa dưới”. Ta có các quy ước sau đây về các khái niệm cơ bản của Hình học Lobachevski phẳng : “Điểm” là điểm Euclide thông thường thuộc “nửa trên” và không thuộc x; “Đường thẳng” là nửa đường tròn thông thường thuộc “nửa trên” và có tâm thuộc x, hoặc là tia thông thường thuộc nửa trên, có gốc thuộc x và vuông góc với x.
Tiếp tục, trong mô hình này, xác định rõ ý nghĩa của các khái niệm cơ bản khác, mà cụ thể là các tương quan cơ bản sau đây: “thuộc”, “ở giữa”, “bằng nhau” (còn gọi là “toàn đẳng”), trong đó “thuộc” và “ở giữa” được hiểu như thông thường.
Người ta đã kiểm nghiệm tất cả các tiên đề của Hình học Lobachevski đổi với mô hình nêu trên, và thấy rằng mô hình đã thỏa mãn tất cả các tiên đề đó.
Thêm vào những điều ở trên, ta có định lí sau đây của Hình học Lobachevski: “Tổng ba góc trong của một tam giác thỏ hơn hai góc vuông”.
Việc xây dựng thành công mô hình của Hình học Lobachevski đã chứng minh:
a) Hình học Lobachevski là phi mâu thuẫn.
b) Từ các tiên đề khác của Hình học Euclide không thể suy ra được tiên đề Euclide.
Hình học Lobachevski không phải là Hình học phi Euclid duy nhất. Hình học Riemann theo nghĩa hẹp của Georg Friedrich Berhard Rienmann (1826 - 1866) người Đức cũng là Hình học phi Euclid. Để có được hệ tiên đề của Hình học Riemann nghĩa hẹp, phải thay đổi hệ tiên đề của Hình học Euclide nhiều hơn là những thay đổi mà Lobachevski đã thực hiện.
Ngoài các hình học vừa nêu, còn nhiều hình học khác, trong đó có Hình học fractal. Thuật ngữ fractal do nhà toán học Benoit Mandtelbrot người Pháp, gốc Ba Lan, đề nghị từ những năm 1970. Tuy mới ra đời nhưng hình học này đã phát triển nhanh chóng, gắn liền với đồ họa vi tính, có nhiều ứng dụng trong phân tích vá tổng hợp hình, trong việc xây dựng mô hình của các quá trình địa lí, quá trình sinh học
Theo Các câu chuyện Toán học
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét