Triết học của Toán ứng dụng

Tôi nói với một vị khách trong một bữa tiệc gần đây là tôi dùng toán học để tìm hiểu bệnh đau đầu Migraine. Cô ta nghĩ rằng tôi yêu cầu những người bị đau đầu làm vài bài tính toán để giảm đau. Tất nhiên, điều tôi thực sự làm là dùng toán học để tìm hiểu những nguyên nhân sinh học của căn bệnh đó.

Công việc của tôi khả thi vì một sự thật bất ngờ mà chúng ta hay bỏ qua: có thể hiểu thế giới bằng toán học. Hiểu lầm của vị khách nhắc chúng ta rằng sự thật này không phải dễ thấy. Trong bài báo này tôi muốn thảo luận một câu hỏi lớn: “tại sao toán học có thể được dùng để mô tả thế giới?”, suy rộng ra, “tại sao toán ứng dụng là khả thi?” Để làm điều đó, chúng ta cần nhìn lại lịch sử lâu dài của triết học về toán - cái tôi tạm gọi là siêu toán (metamaths).

Toán ứng dụng là gì?

Trước khi đi vào chi tiết, ta cần định rõ thế nào là toán ứng dụng. Tôi sẽ mượn một định nghĩa của một nhà toán học ứng dụng lớn của thế kỉ 20 và 21, Tim Pedley, GI Taylor Professor về Cơ học chất lưu tại Đại học Cambridge. Trong phát biểu của ông cho Viện Toán và Ứng dụng năm 2004, ông nói “Ứng dụng toán là dùng những kỹ thuật toán để tìm câu trả lời cho những câu hỏi bên ngoài ngành toán”. Định nghĩa này khá rộng - gồm mọi việc từ đổi tiền đến biến đổi khí hậu - và tính khả thi của một định nghĩa rộng như vậy là một phần của điều bí ẩn mà chúng ta đang thảo luận.

Câu hỏi tại sao toán học lại ứng dụng được có lẽ quan trọng hơn bất kỳ câu hỏi nào bạn có thể hỏi về bản chất của Toán học. Trước hết, vì toán ứng dụng là toán, nó đưa đến tất cả những vấn đề y như truyền thống của Siêu Hình Toán. Thêm nữa, khi được sử dụng, nó dẫn đến những câu hỏi về triết học của khoa học. Tôi cho rằng vấn đề của chúng ta là câu hỏi lớn cho triết học của khoa học và toán học. Dù sao đi nữa, chúng ta hãy xem qua lịch sử của Siêu Hình Toán: những quan niệm nào đã được đưa ra về toán học, bản chất và công dụng của nó?

Siêu toán học

Lịch sử lâu dài của toán học nói chung không phân biệt rạch ròi toán ứng dụng và toán thuần túy. Mặc dù trong thời kỳ của toán học hiện đại, tức hai thế kỷ gần đây, có một sự tập trung gần như toàn bộ cho triết học về toán thuần túy. Nói riêng, mối quan tâm đã được đặt ra cho cái gọi là cơ sở của toán học- điều gì làm cho một mệnh đề toán học là đúng? Các nhà toán học quan tâm đến các cơ sở nói chung chia thành bốn nhóm.

Các nhà hình thức (formalist), như David Hillbert, coi toán học như được dựng trên tổng hợp của lý thuyết tập hợp và logic, và trong chừng mực nào đó coi việc làm toán hầu như biến đổi các ký hiệu toán dựa trên những luật cho trước.

Các nhà logic (logicist) coi toán học như một sự mở rộng của logic. Các nhà logic bậc thầy Bertrand Russell và Alfred North Whitehead từng dùng hàng trăm trang giấy để chứng minh logic rằng một cộng một bằng hai.

Các nhà trực giác được đại diện bởi LEJ Brouwer, một người được tả là “ông sẽ không bao giờ tin trời có mưa hay không cho đến khi ông nhìn ra ngoài cửa sổ” (theo Donald Knuth). Câu nói này đặc trưng cho một trong những ý tưởng cốt lõi của các nhà trực giác, sự khước từ luật triệt tam. Luật này nói rằng một mệnh đề (như “trời đang mưa”) là hoặc đúng hoặc sai, dù cho ta không biết chính xác. Ngược lại, các nhà trực giác tin rằng trừ khi bạn đã chứng minh xong mệnh đề hay đã đưa ra phản ví dụ, mệnh đề đó không có giá trị chân lý (không đúng cũng không sai).

Hơn thế nữa, các nhà trực giác đặt ra một giới hạn gắt gao cho những ý tưởng mà họ chấp nhận về cái vô hạn. Họ tin rằng toán học hoàn toàn là sản phẩm của trí óc con người, cái họ cho là chỉ có thể hiểu cái vô hạn trong một sự suy rộng của quá trình đếm số một-hai-ba-vân vân. Kết quả là, họ chỉ cho phép những phép toán đánh số được xuất hiện trong chứng minh, tức là những phép toán có thể được định bằng các số tự nhiên.

Cuối cùng, các nhà Platon học (Platonist), những người xưa nhất trong bốn nhóm, tin rằng có một thực tại dành cho sự tồn tại của các con số và đối tượng toán học. Với một nhà platon như Kurt Godel, toán học tồn tại không cần trí óc con người, có thể là không cần cả vũ trụ vật chất, nhưng có một kết nối bí ẩn giữa thế giới tinh thần của con người và thực tại của toán học.

Có một sự tranh cãi về việc cái nào trong bốn ý trên - nếu có một - là nền tảng cho toán học. Có vẻ như những đàm luận cao siêu đó không có liên quan gì đến tính ứng dụng, nhưng có ý cho rằng tính bất định về nền tảng gây ảnh hưởng đến việc thực hành toán ứng dụng. Trong “Sự biến mất của tính chắc chắn” (The loss of certainty), Morris Kline viết vào năm 1980 rằng “Những rối ren và tranh cãi về nền tảng của toán học cũng làm nản lòng những ai ứng dụng các phương pháp toán vào nhiều lĩnh vực trong nền văn hóa của chúng ta như triết học, khoa học chính trị, đạo đức và mỹ học […] Thời đại của lý lẽ đã qua rồi.” May thay, toán học đang bắt đầu được ứng dụng cho những lĩnh vực trên, nhưng chúng ta học được một bài học lịch sử quan trọng: việc lựa chọn những ứng dụng của toán học có mối liên hệ  có tính xã hội học với các vấn đề Siêu Hình Toán.

Tính ứng dụng cho thấy gì về nền tảng của toán?

Bước hợp lý tiếp theo cho nhà siêu hình toán nào muốn nghĩa về khả năng ứng dụng của toán là hỏi xem mỗi cái trong bốn cách nhìn về nền tảng cho thấy gì về câu hỏi lớn của chúng ta. Những thảo luận theo hướng này đã được viết bởi nhiều nhà toán học và khoa học, như Roger Penrose trong quyển “Đường đến thực tại” (The road to reality), hay Paul Davies trong “Ý Chúa” (The mind of god).

Tôi muốn đi hướng khác bằng cách lật ngược lại bước trên: Tôi muốn hỏi “tính khả dụng của toán cho thấy gì về nền tảng của toán học?” Bằng cách hỏi câu hỏi này tôi có lợi là không có bất đồng nghiêm trọng nào về việc toán học có dùng được không: công trình đồ sộ của khoa học và công nghệ hiện đại, phụ thuộc lớn vào tính toán học của tự nhiên, là bằng chứng.

Vậy một nhà hình thức nói gì về tính khả dụng của toán học? Nếu toán học thật sự chẳng là gì ngoài trò chơi với các ký hiệu toán, thì làm sao nó mô tả thế giới? Trò chơi toán thì có ý nghĩa gì hơn những trò chơi khác? Nhớ rằng, nhà hình thức phải trả lời từ quan điểm hình thức, nên không thể cầu cứu tới những ý tưởng Platonic về ý nghĩa sâu xa của toán hay mối liên kết ngầm với thế giới vật lý. Với những lí do tương tự, các nhà logic cũng bị loại, vì nếu họ nói “có lẽ vũ trụ là một biểu hiện của logic”, thì họ đã ngầm giả thiết có một thực tại Platon cho logic để biểu hiện ra. Điều này biến chủ nghĩa logic thành một nhánh của chủ nghĩa Plato, cái mà ta sẽ thấy dẫn đến vấn đề nghiêm trọng của chính nó. Vậy với các nhà hình thức và các nhà logic phi-Plato, sự tồn tại của các ứng dụng toán học dẫn đến một vấn đề nghiêm trọng cho quan niệm của họ.

Chủ nghĩa hình thức và chủ nghĩa logic đều không được tin tưởng rộng rãi nữa, mặc cho định kiến là các nhà toán học là các nhà platon trong tuần và hình thức trong ngày cuối tuần. Ngoài khả năng sai do ứng dụng toán học, cả hai cách nhìn đều dẫn đến sai lầm về lý luận do những công trình của Godel, Thoralf Skolem và những người khác.

Nền tảng thứ ba được đề xuất, chủ nghĩa Trực giác, chưa bao giờ được ủng hộ. Cho đến nay, nếu có được xét đến thì nó thường được bàn với giọng càu nhàu của các nhà toán học. Việc giới hạn các công cụ chứng minh và ý tưởng quái dị về sự mù mờ, khi một mệnh đề không thể đúng hay sai cho đến khi nó được chứng minh hoàn toàn, làm cho cách nhìn này ít hấp dẫn với nhiều nhà toán học.

Dù vậy, ý tưởng cốt lõi về tính đánh số được trong những quá trình có vẻ được suy ra từ thực tế. Trong thế giới vật chất, ít ra là như loài người thấy, có vẻ chỉ chứa những thứ đếm được và cái vô hạn như ta có thể gặp là sự suy rộng của việc đếm. Bằng cách này, có lẽ chủ nghĩa trực giác được suy ra từ thực tế, từ thế giới vật chất rõ ràng vô hạn quá lắm đếm được. Có vẻ là chủ nghĩa trực giác cho một câu trả lời gọn gàng về câu hỏi của tính khả dụng của toán học: nó dùng được vì nó được suy ra từ thực tế.

Thế nhưng câu trả lời này có thể gặp rắc rối khi kiểm tra kĩ hơn. Ví dụ, vật lý toán hiện đại, gồm lý thuyết lượng tử, cần ý tưởng về vô hạn vượt cả tính đếm được. Những mặt này do đó nằm ngoài khả năng giải thích của toán học theo chủ nghĩa Trực giác.

Có một ý tưởng hiện đại có thể có lợi từ lý luận của các nhà Trực giác: cái gọi là vật lý kỹ thuật số (digital physics). Nó cho rằng vũ trụ giống như một máy tính khổng lồ. Các hạt cơ bản được mô tả bởi trạng thái lượng tử chúng nhận được ở một thời điểm cho trước, giống như một bit trong máy tính được định bởi giá trị 0 hay 1. Giống như máy tính, vũ trụ được dựng trên thông tin về các trạng thái và hoạt động của nó có thể trên lý thuyết được mô phỏng bởi một máy tính khổng lồ. Do đó có khẩu hiệu của vật lý kỹ thuật số, “It from bit”.

Thế giới vốn là toán học hay toán học là một thiết kế của ý nghĩ con người?

Nhưng cách nhìn này cũng không phải thuần Trực giác và có vẻ dùng một vài ý tưởng platon. Bit của lý thuyết thông tin có vẻ dẫn đến một sự tồn tại có tính platon của thông tin mà từ đó thế giới vật lý được tạo ra.

Nhưng cơ bản hơn, chủ nghĩa Trực giác không trả lời được tại sao toán học phi-Trực giác lại dùng được. Có thể một định lý toán phi Trực giác được áp dụng vào thế giới khi nào nó có một chứng minh Trực giác, nhưng chứng minh đó chưa được nghĩ ra. Hơn nữa, mặt dù toán học Trực giác có vẻ như được suy ra từ thế giới thực, không rõ là những vật thể của trí óc con người có diễn tả trung thực thế giới vật chất không. Những biểu diễn của trí óc đã được chọn lọc qua thời gian tiến hóa, không phải do tính trung thực, mà bởi lợi thế nó tạo ra cho cá thể trong cuộc đấu tranh sinh tồn và truyền giống.

Được tạo ra theo hình ảnh của toán học

Chủ nghĩa hình thức và chủ nghĩa logic không trả lời được câu hỏi của ta. Có lẽ chủ nghĩa Trực giác có thể trả lời, nhưng vẫn còn nhiều thách thức về khái niệm. Vậy chủ nghĩa Platon thì sao?

Các nhà Platon tin rằng thế giới vật chất là cái bóng bất toàn của các vật thể toán học (và có lẽ các ý niệm như chân lý hay cái đẹp). Thế giới vật chất phát triển, cách nào đó, từ thực tại platonic này, và bắt rễ từ đó, và như vậy các vật và mối liên hệ giữa các vật trong thế giới in bóng những cái trong thực tại platonic. Sự thật là thế giới được mô tả bởi toán học không còn là điều bí ẩn vì nó đã thành một tiên đề: thế giới bắt rễ trong một thực tại toán học.

Plato và Aristotle trong bức bích họa The school of Athens của Raphael.

Nhưng những vấn đề lớn hơn xuất hiện: tại sao thực tại vật chất phát triển và bắt rễ trong thực tại platonic? Tại sao thực tại tư tưởng phát sinh từ vật chất? Tại sao thực tại tư tưởng có liên hệ trực tiếp tới thực tại platonic? Và những câu hỏi trên khác gì với những thần loại cổ xưa về nguồn gốc của thế giới, từ những thân thể bị giết của các vị thần và các titan, từ Phật-tính của tự nhiên, hay ý tưởng Abrahamic rằng chúng ta được “tạo ra theo hình ảnh của Chúa”?

Tất nhiên, niềm tin rằng chúng ta sống trong một vũ trụ linh thiêng và tham gia vào việc tìm hiểu thiên ý bằng nghiên cứu toán học và khoa học có lẽ là động lực lâu đời nhất cho tư duy có lý trí, từ Pythagoras đến Newton và các nhà khoa học ngày nay. “Chúa”, theo nghĩa này, không phải là một đối tượng trong không- thời gian, không là tổng của mọi đối tượng trong thế giới vật chất, hay một nhân tố trong thế giới platonic. Mặt khác, Chúa là điều gì đó gần với tính toàn thể của thực tại platonic. Theo cách này, nhiều trong số những khó khăn đặt ra cho các nhà platon cũng giống với những khó khăn của các nhà thần học của Do Thái-Thiên Chúa Giáo- và có lẽ của các tôn giáo và bán-tôn giáo khác.

Galileo tin rằng “quyển sách của vũ trụ” được viết bằng “ngôn ngữ” của toán học- một mệnh đề platonic đòi hỏi một câu trả lời (nếu không là câu hỏi) nếu có. Ngay cả các nhà khoa học toán không tôn giáo ngày nay cũng hay nói về những cảm giác ngạc nhiên và thích thú khi khai phá cái giống như thực tại platonic- họ không phát minh toán học, họ tìm thấy nó. Paul Davies đi xa hơn trong Ý Chúa, và nhấn mạnh bản chất hai chiều của động lực này. Một nhà toán học không chỉ được thúc đẩy tìm hiểu toán học với hi vọng được hiểu ý Chúa (một đức Chúa phi ngã như của Spinoza hay Einstein), nhưng khả năng của chúng ta trong việc truy đến chiếc “chìa khóa của vũ trụ” này gợi ý một mục đích hay ý nghĩa cho sự tồn tại của chúng ta.

Galileo Galilei, người tin rằng thế giới được viết bởi ngôn ngữ toán học đang đối diện với Toàn án La Mã để tuyên bố trái đất quay quanh mặt trời. Vẽ bởi Cristiano Banti.

Thật ra, giả thuyết rằng cấu trúc toán học và bản chất vật lý của vũ trụ cùng khả năng của trí óc chúng ta để tìm hiểu cả hai cách nào đó là một phần của trí óc, sự hiện diện, hay thân thể của một đấng nào đó là một câu trả lời gọn hơn cho câu hỏi về nền tảng của toán học và tính khả dụng của nó hơn những câu trả lời đã nói. Một giả thuyết như vậy, dù ít khi được dẫn, được tìm thấy trong nhiều hệ thống tôn giáo, văn hóa và khoa học trong vài thiên niên kỷ qua. Thế nhưng, không phải tự nhiên mà một nhà triết học hay một nhà khoa học hoàn toàn theo cách nhìn này (dù họ có muốn như thế) vì nó ủng hộ việc giữ lấy những điều huyền bí thay vì đẩy lùi những ranh giới của cái chưa biết.

Roger Penrose diễn tả rõ ràng nhất điều này với một sơ đồ ba thế giới. Thế giới platonic, vật chất và tư tưởng được vẽ như những hình cầu xếp vào một tam giác. Một hình nón nối thế giới platonic với vật chất: trong dạng tổng quát nhất, sơ đồ cho thấy phần hẹp của hình nón chỉ vào thế giới platonic còn phần rộng chỉ vào thế giới vật chất. Điều này diễn tả (ít nhất một phần) thế giới vật chất được biểu hiện từ một ít của thế giới platonic. Một hình nón tương tự nối thế giới vật chất với thế giới tư tưởng: (ít nhất một phần) thế giới tư tưởng được nhúng vào thế giới vật chất. Cuối cùng, và kỳ lạ nhất, hình tam giác được hoàn thành bởi một hình nón từ thế giới tư tưởng vào thế giới platonic: (ít nhất một phần) thế giới platonic được nhùng vào thế giới tư tưởng. Mỗi hình nón, mỗi thế giới, là một điều chưa biết.

Mô hình ba thế giới của Penrose

Chúng ta dường như đã đến bế tắc khi mà bốn ý tưởng về nền tảng của toán học không thể giải đáp câu hỏi về ứng dụng của toán học. Nhưng tôi muốn bạn đọc xong bài viết này với cảm nghĩ rằng đó là một tin cực tốt! Việc gọt giũa những khía cạnh của câu hỏi lớn – tại sao toán ứng dụng tồn tại?- là một dự án tương lai có thể tạo ra hiểu biết sâu sắc về bản chất của toán học, của thế giới vật chất, và của vị trí của chúng ta trong cả hai hệ thống.

Dịch từ  bài The philosophy of applied mathematics của Phil Wilson, Đại học Canterbury, New Zealand bởi Võ Đức Huy.