Giải câu 10 trong đề thi THPT quốc gia 2015 bằng nhiều cách

Câu 10. Cho các số thực $a,b,c$ thuộc đoạn $[1;3]$ và thỏa mãn $a+b+c=6$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$P=\dfrac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+12abc+72}{ab+bc+ca}-\dfrac{1}{2}abc.$$

Cách 1.
Ta có $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=(ab+bc+ca)^2-2abc(a+b+c)=(ab+bc+ca)^2-12abc$ và $(a-1)(b-1)(c-1)\geqslant 0\Leftrightarrow abc+a+b+c-ab-bc-ca-1\geqslant0\Rightarrow abc\geqslant ab+bc+ca-5$.
Do đó $$P\leqslant \dfrac{(ab+bc+ca)^2+72}{ab+bc+ca}-\dfrac{1}{2}(ab+bc+ca-5).$$
Nếu đặt $ab+bc+ca=t$ thì $P\leqslant t+\dfrac{72}{t}-\dfrac{t}{2}+\dfrac{5}{2}=\dfrac{t}{2}+\dfrac{72}{t}+\dfrac{5}{2}$.
Mặt khác ta có $$(3-a)(3-b)(3-c)\geqslant 0 \Leftrightarrow 27+3(ab+bc+ca)\geqslant 9(a+b+c)+abc\geqslant 54+ab+bc+ca-5,$$ suy ra $ab+bc+ca\geqslant 11$.
Kết hợp với $(a+b+c)^2\geqslant 3(ab+bc+ca)\Rightarrow ab+bc+ca\leqslant 12$ để có $11\leqslant t\leqslant 12$.
Hàm số $f(t)=\dfrac{t}{2}+\dfrac{72}{t}+\dfrac{5}{2}$ có $f'(t)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{72}{t^2}=\dfrac{(t-12)(t+12)}{2t^2}\leqslant 0$ với mọi $t\in [11;12]$ nên hàm $f(t)$ nghịch biến trên $[11;12]$, dẫn đến $P=f(t)\leqslant f(11)=\dfrac{160}{11}$.
Vậy GTLN của $P$ bằng $\dfrac{160}{11}$ đạt tại $a=1, b=2, c=3$ và các hoán vị của nó.

Cách 2.
Đặt $p=a+b+c=6, q=ab+bc+ca, r=abc$ và $f(x)=x^3-6x2+qx-r$.
Ta có $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=(ab+bc+ca)^2-2abc(a+b+c)=(ab+bc+ca)^2-12abc$ và $f'(x)=3x^2-12x+q$.
Khi đó $$P=q+\frac{72}{q}-\frac{r}{2}$$ và $a, b, c$ là nghiệm của phương trình $f(x)=0$.
Vì $a, b, c\in [1,3]$ nên $f(1)\leq 0, f(3)\geq 0, \Delta_{f'}\geq 0$.
Suy ra $r\geq q-5, r\leq 3q-27, 11\leq q\leq 12$.
Từ đó $$P\leq q+\frac{72}{q}-\frac{q-5}{2}=\frac{q}{2}+\frac{72}{q}+\frac{5}{2}.$$
$P$ lớn nhất khi $r=q-5$.
Vậy GTLN của $P$ bằng $\dfrac{160}{11}$ đạt tại $a=1, b=2, c=3$ và các hoán vị của nó.

Câu 9. Giải phương trình $\dfrac{x^2+2x-8}{x^2-2x+3}=(x+1)(\sqrt{x+2}-2)$ trên tập số thực.

Cách 1.

Cách 2. Đặt $t=\sqrt{x+2}$.
Khi đó phương trình đã cho có dạng $-t^7+2 t^6+7 t^5-13 t^4-17 t^3+32 t^2+11 t-30=0$
hay $(t-2) (t^2-t-3) (t^4+t^3-3 t^2-t+5) =0$.