3.1 Giới thiệu
Trong chương này, chúng ta định nghĩa chuyển động Brown và những tính chất cơ bản của nó. Định nghĩa chuyển động Brown sẽ được đinh nghĩa ở phần 3.3. Phần 3.2 được trình bày trước để cho chúng ta có thể hình dung một chút về mặt trực giác. Chuyển động Brown có hai tính chất quan trọng, thứ nhất nó là một Martingale (Định lý 3.3.4) và nó tích luỹ biến phân cấp hai với tốc độ một đơn vị (độ lớn tăng thêm 1) trên một đơn vị thời gian (Định lý 3.4.3). Khái niệm về biến phân cấp hai có ý nghĩa rất lớn. Chính điều này đã làm ra sự khác biệt giữa giải tích cơ bản và giải tích ngẫu nhiên. Vì lý do đó, chúng ta bắt đầu trong phần 3.2 để nói về khái niệm đó.
Phần 3.5 -3.7 phát triển những tính chất của chuyển động Brown. Tính chất Markov là khái niệm sử dụng để liên kết giải tích ngẫu nhiên (GTNN) và phương trình vi phân đạo hàm riêng (PTVPĐHR), tính chất này sẽ được trình bày ở phần 3.5.
3.2 Bước đi ngẫu nhiên đối xứng đã điều chỉnh
3.2.1 Bước đi ngẫu nhiên đối xứng
Để tạo ra một chuyển động Brown, chúng ta bắt đầu từ một bước đi ngẫu nhiên đối xứng. Hình 3.2.1 là một đường biểu diễn bước đi ngẫu nhiên đối xứng. Để xây dựng được một bước đi ngẫu nhiên đối xứng, ta tung đồng xu công bằng (xác suất được mặt ngửa \((N)\) \(p\) và xác suất được mặt xấp \((X)\) \(1-p\) ở mỗi lần tung là bằng nhau và bằng \(\frac{1}{2}\)). Chúng ta kí hiệu những biến cố liên tiếp của các lần tung là \(\omega = \omega_1\omega_2\omega_3…\)Có thể thấy \(\omega\) là một dãy kết quả của vô hạn số lần tung, trong đó \(\omega_n\) là kết quả của lần tung thứ \(n\). Đặt
\( X_j = \left\{\begin{matrix}
1 &\mbox{nếu} \omega_j = N\\
-1 &\mbox{nếu} \omega_j = X
\end{matrix}\right.\) (3.21)
Và ta định nghĩa \(M_0 = 0\), \(M_k = \sum_{j =1}^{k}X_j, k =1,2,… \) (3.2.2)1 &\mbox{nếu} \omega_j = N\\
-1 &\mbox{nếu} \omega_j = X
\end{matrix}\right.\) (3.21)
Thì quá trình \(M_k, k =0,1,2,…\) là bước đi ngẫu nhiên đối xứng. Với mỗi lần tung đồng xu nó sẽ bước lên một đơn vị hoặc lùi xuống một đơn vị với xác suất của hai trường hợp là bằng nhau.
Một bước đi ngẫu nhiên có các gia số độc lập với nhau. Điều này có nghĩa rằng nếu ta các số nguyên không âm \(0= k_0 < k_1 <…<k_m\), các biến ngẫu nhiên \(M_{k_1}= (M_{k_1} – M_{k_0}), (M_{k_2}-M_{k_1}),…, (M_{k_m}-M_{k_{m-1}})\) là độc lập. Ta định nghĩa các biến ngẫu nhiên
\(M_{k_{i+1}}- M_{k_i} = \sum_{j = k_i +1}^{k_{i+1}} X_j \) (3.2.3)
là gia số của bước đi ngẫu nhiên. Nó là sự thay đổi về vị trí của bước đi ngẫu nhiên giữa thời điểm \(k_i\) và thời điểm \(k_{i+1}\). Gia số giữa những khoảng thời gian không chồng chéo lên nhau là độc lập với nhau vì chúng phụ thuộc vào những lần tung đồng xu khác nhau.Hơn thế nữa, mỗi gia số hay biến ngẫu nhiên \(M_{k_{k+1}} – M_{k_i}\) có giá trị kì vọng bằng 0 và phương sai (variance) là \(k_{i+1}-k_i\). Điều này dễ thấy bởi vì kì vọng của mỗi biến ngẫu nhiên \(X_j\) ở vế phải của công thức (3.2.3) là bằng \(0\). Mặt khác do \(Var (X_j) = E(X_j^2) = 1\) và các biến ngẫu nhiên \(X_j ( j = k_j +1 , …, k_{i+1})\) là độc lập với nhau nên ta
\(Var(M_{k_{i+1}}-M_{k_i})\) \(= \sum_{j = k_i +1}^{k_{i+1}}Var(X_j)\) \(= \sum_{j = k_i +1}^{k_{i+1}}\)= \(k_{i+1}\) (3.2.4)
Ta có thể thấy phương sai của bước đi ngẫu nhiên đối xứng tích luỹ với tốc độ 1 trên một đơn vị thời gian tức là cứ qua một đơn vị thời gian thì giá trị của phương sai tăng lên 1, vì vậy phương sai của gia số trên khoảng thời gian từ \(k\) đến \( l\) ( với \(k,l\) không âm và \( k < l\) ) là \(l –k\).3.2.3 Tính chất Martingale của bước đi ngẫu nhiên đối xứng
Để thấy được một bước đi ngẫu nhiên đối xứng là một Martingale, ta chọn \(l,k\) là hai số không âm và \(l< k\). Ta có
\(\mathbb{E}[M_l |\mathcal{F_k}] =\mathbb{ E}[(M_l – M_k)+M_k |\mathcal {F_k}]\)
\(= \mathbb {E} [M_l – M_k|\mathcal{ F}_k]+\mathbb {E}[M_k|\mathcal {F}_k]\)
\(=\mathbb{E}[M_l – M_k| \mathcal{F}_k] +M_k\)
\(=\mathbb {E}[M_l – M_k] +M_k = M_k.\)
Ở đây ta sử dụng kí hiệu \(\mathbb {E} […| \mathcal {F}_t]\) để kí hiệu kì vọng có điều kiện dựa trên thông tin tính đến thời điểm \(k\), trong trường hợp này nó là thông tin về \(k\) lần tung đồng xung đầu tiên. Đẳng thức thứ hai có được do tính chất tuyến tính của kì vọng có điều kiện. Đẳng thức thứ ba do \(M_k\) hoàn toàn phụ thuộc vào \(k\) lần tung đầu tiên. Đẳng thức thứ tư là do tính chất có số gia độc lập với thông tin về \(k\) lần tung đầu tiên tức \(\mathcal{F}_t\). Theo tính chất của kì vọng của gia số bằng không ta đã nói ở trên ta thu được đẳng thức cuối cùng.
3.2.4 Biến phân cấp hai (Quadratic variation) của bước đi ngẫu nhiên đối xứng
Cuối cùng ta sẽ xem xét biến phân cấp hai của bước đi ngẫu nhiên đối xứng. Biến phân cấp hai đến thời điểm \(k\) đươc định nghĩa như sau
\([M,M]_k = \sum_{j =1}^{k} (M_j – M_{j -1})^2 = k \) (3.26)
Chú ý rằng tính toán này là biến phân cấp hai của môt đường với chính nó. Đường ở đây có nghĩa là nếu ta cho một quá trình ngẫu nhiên \(\{X_t\}_{t \in T}\) trên không gian xác suất \((\Omega, \mathbb{P}, \mathcal {G})\), thì với mỗi \(\omega \in \Omega\) ta xác định được một đường có thể gọi là quỹ đạo, hay đường mẫu kí hiệu \({X_t(\omega)}_{t \in T}\).Biến phân cấp hai tính tới thời điểm \(k\) trên một đường được tính bằng cách lấy các gia số trên từng đơn vị thời gian của đường đó (giá trị của chúng tương đương với \(X_j\), tức là bằng \( 1\) hoặc \(-1\)), rồi bình phương những giá trị đó, và cộng tổng chúng lại. Ta có \((M_j – M_i)^2 = 1\) ( do \( M_j – M_i\) chỉ có thể là \(1\) hoặc \(-1\). Tổng trong công thức (3.2.6) sẽ bằng \(\sum_{j =1}^{k} 1 = k \).
Một chú ý quan trọng tiếp theo nữa đó là, tuy của \([M,M]_k \) bằng \( Var (M_k)\) và cùng bằng \(k\) (đặt \(k_{i+1} = k\) và \( k_i =0\) trong công thức (3.2.4)) nhưng việc tính toán hai đai lượng này rất khác nhau. \(Var(M_k)\) được tính toán bằng cách lấy trung bình tất cả các đường và kể đến cả xác suất của chúng. Nếu bước đi ngẫu nhiên này không đối xứng (tức là giá trị của p khác \(\frac{1}{2}\)), \(Var (M_k)\) sẽ thay đổi. Trong khi đó\([M,M]_k\) được tính chỉ dựa trên một đường, và xác suất bước lên hay lùi xuống không ảnh hưởng gì đến việc tính toán. Chúng ta chỉ có thể tính toán phương sai của một bước đi ngẫu nhiên một cách lý thuyết bởi vì nó là trung bình của tất cả các đường, thức tế và không thực tế. Tuy nhiên, từ những dữ liệu về giá đã có theo từng khoảng thời gian ta có thể tính biến phân cấp hai bằng một đường thực tế khá là dễ dàng. Với mỗi bước đi ngẫu nhiên, có một tính chất không giống với các quá trình ngẫu nhiên đó là \([M, M]_k\) không phụ thuộc vào cách chọn đường để tính, về sau chúng ta sẽ thấy biến phân cấp hai của một quá trình ngẫu nhiên là có phụ thuộc vào cách chọn đường để tính.
3.2.5 Bước đi ngẫu nhiên đối xứng được điều chỉnh
Để xấp xỉ một chuyển động Brown, ta cần tăng tốc độ thời gian và giảm độ lớn (kích thước) của bước nhảy của bước đi ngẫu nhiên đối xứng. Chính xác hơn, ta sẽ cố định một số nguyên dương \(n\) và định nghĩa “bước đi ngẫu nhiên đối xứng đã điều chỉnh” như sau
\(W^{(n)} (T) = \frac{1}{\sqrt{n}}M_{nt}\),
Sao cho \(nt\) ở đây là một số nguyên. Nếu \(nt\) không phải là một số nguyên, ta định nghĩa \(W^{(n)}(t)\) bằng nội suy tuyến tính giữa \(W^{(s)}(t)\) và \(W^{(u)}(t)\) với \(s\) và \(u\) lần lượt là giá trị bên trái và bên phải gần với \(t\) nhất sao cho \( ns\) và \(nu\) là những số nguyên.Ta sẽ thu được chuyển động Brown khi \(n \to \infty\). Ở hình (3.2.2) là một mô phỏng đường của \(W^{(100)}\) tới thời điểm \(4\) tức \(t =4\); điều đó có nghĩa là ta sẽ đồng xu \(400\) lần và kích cỡ của bước lên hoặc lùi xuống với mỗi lần tung là \(\frac{1}{\sqrt (100)} = \frac{1}{10}\).Giống như bước đi ngẫu nhiên, bước đi ngẫu nhiên được điều chỉnh cũng có gia số độc lập. Lấy bất kì các số \(0=t_0<t_1<…<t_m \) sao cho \(nt_j\) số nguyên, thì
\((W^{(n)} (t_1) – W^{(n)}(t_0)), ((W^{(n)} (t_2) – W^{(n)}(t_1)),…, ((W^{(n)} (t_m) – W^{(n)}(t_{m-1}))\)
là những biến ngẫu nhiên độc lập với nhau. Ví dụ với, \((W^{(100)} (0.2) – W^{(100)}(0))\) phụ thuộc vào \(20\) lần tung đầu tiên và \((W^{(100)} (0.7) – W^{(100)}(0.2))\) phụ thuộc vào \(50\) lần tung tiếp theo. Ngoài ra ta còn có nếu \( s,t\) là các số sao cho \(0\le s \le t\) sao cho \( ns\) và \(nu\) là những số nguyên, thì
\(\mathbb{E}( W^{(n)} (t) – W^{(n)}(s) )= 0\) và \(Var(W^{(n)} (t) – W^{(n)}(s)) = t -s\)
Chọn \(s\) và \(t\) là các số nguyên, đại lượng đầu tiên bên vế phải là đọc lập với \(\mathcal {F}(s)\), \(\sigma\)- đại số của những thông tin hiện hữu tại thời điểm \(s\) (được xem như là những thông tin về \(ns\) lần tung đầu tiên), và \(W^{n}(s)\) là \(\mathcal {F}(s)\) – đo được (hay nó chỉ phụ thuộc vào \(ns\) lần tung đầu tiên). Chúng ta có thể chứng minh tính chất Martingale của bước đi ngẫu nhiên đã điều chỉnh giống như đã làm với bước đi ngẫu nhiên trong công thức (3.2.5)
\(\mathbb{E} [W^{n}(t)|\mathcal {F}(s)] = W^{n}(s)\) (3.2.9)
Cuối cùng ta xem xét biến phân cấp hai của bước đi ngẫu nhiên đã điều chỉnh. Với \(W^{(100)}\) biến phân cấp hai tại thời điểm giả sử \(1.37\) chẳng hạn được định nghĩa như sau\([W^{(100)},W^{(100)}](1.37)\) \(= \sum_{j =1}^{137}[ W^{(100)}(\frac{j}{100})-W^{(100)} (\frac{j-1}{100})]^2\)
\(= \sum_{j =1}^{137} [\frac{1}{10}X_j]^2 = \sum_{j=1}^{137}\frac{1}{100} = 1.37\)
Một cách tổng quát, với \(t \ge 0\) sao cho \(nt\) là một số nguyên,
\([W^{(n)},W^{(n)}]\) \(= \sum_{j =1}^{nt}[ W^{(n)}(\frac{j}{n})-W^{(n)} (\frac{j-1}{n})]^2\)
\(= \sum_{j =1}^{nt} [\frac{1}{\sqrt{n}}X_j]^2 =\sum_{j=1}^{nt}\frac{1}{n} = t.\)
Tính toán này là dựa trên một đường xác định nào đó, không phải là trung bình của tất cả các đường. Tuy nhiên với mỗi đường bất kì ta cũng đều có kết quả là \(t\). Chú ý rằng \(Var( W^{(n)}(t))\) cũng bằng \(t\) nhưng nó là giá trị trung bình tính trên tất cả các đường.Còn nữa...
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét