Đề thi học sinh giỏi các tỉnh môn Toán năm học 2014 - 2015 - Phần 4
0. Đề thi chọn đội tuyển HSG lớp 12 tỉnh Cà Mau năm học 2014-2015
Vòng 1
Câu 2. Cho các số x, y thỏa mãn: $0<x\le 1,0<y\le 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$F=\frac{x^5+y+4}{x} +\frac{y^4-2y^3+x}{y^2}$.
Câu 3. Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi: $u_1=1, u_{n+1}=3u_n+a, \forall n\in \mathbb{N}, n\ge 1$ và a là số nguyên tố. Xét dãy $(v_n): v_n=u_n+b, b\in \mathbb{N}$. Tìm a và b sao cho $(v_n)$ là một cấp số nhân. Từ đó tìm số hạng tổng quát của $(v_n)$.
Câu 4. Cho đa thức $P(x)=x^4+ax+a, a\in \mathbb{R}$. Xác định a để P(x) có nghiệm thực và chứng minh rằng với $a\ge \frac{256}{27}$ thì nghiệm $x_0$ của P(x) thỏa mãn: $x_{0}^2 < 2a^2+1$.
Câu 5. Tổ 1 gồm có 7 người nam và 5 người nữ. Trong 7 người nam đó có tổ trưởng tên là A. Thầy chủ nhiệm phân công tổ 1 trực nhật 6 ngày trong tuần, mỗi người đều phải trực một ngày và mỗi ngày đều có hai người trực.
Câu 6. Cho tứ giác lồi ABCD có diện tích bằng S. Tia AB và tia DC cắt nhau tại E. Dựng đường thẳng d vuông góc với BC tại F sao cho $\Delta ADE$ nằm về một phía so với d. Các đoạn HF và FK lần lượt là hình chiếu vuông góc của các hình ABCD và BCE trên đường thẳng d. Ký hiệu đường tròn ngoại tiếp $\Delta EAD$ là $(O_1;R_1)$; đường tròn ngoại tiếp $\Delta EBC$ là $(O_2;R_2)$. Biết diện tích $\Delta BCE$ bằng 2S.
1. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Bình Định năm học 2014-2015
2. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Quảng Nam năm học 2014-2015
3. Đề thi chọn đội tuyển HSG QG tỉnh Yên Bái năm học 2014-2015
Câu 1. Giải hệ phương trình
$$\left\{\begin{matrix} 4x^{2}y+\sqrt{x}=3\\ 2x^{2}y\left ( 1+\sqrt{4y^{2}+1} \right )=x+\sqrt{x^{2}+1} \end{matrix}\right.$$
Câu 2.
Tìm tất cả các hàm $f:\left ( 0,\propto \right )\rightarrow \left ( 0,\propto \right )$ thỏa mãn
$$x^{2}\left ( f(x)+f(y) \right )=\left ( x+y \right )f\left ( y \left ( x \right ) \right )\forall x,y\in \left ( 0,\propto \right )$$
Câu 3.
Cho tam giác đều $ABC$. $P$ là một điểm bất kì trên đường tròn ngoại tiếp tam giác. Đường thẳng qua $P$ tương ứng vuông góc với $BC,CA,AB$ cắt các đường thẳng $AB,BC,CA$ theo thứ tự tại $I,G,K$. Chứng minh rằng $I,G,K$ thẳng hàng
Câu 4.
Tìm các số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn phương trình
$$3^{x-1}+1=2^{y}$$
Câu 5.
Trong mặt phẳng cho $2015$ điểm phân biệt $A_{1},A_{2},...,A_{2015}$
Chứng minh rằng, trên bất kì đường tròn có bán kính bằng $1$ ta luôn tìm được điểm $M$ thỏa mãn tính chất
$$MA_{1}+MA_{2}+...+MA_{2015}\geq 2015$$
Câu 6.
Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn
$$3\left ( x^{4}+y^{4}+z^{4} \right )-7\left ( x ^{2}+y^{2}+z^{2}\right )+12=0$$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$$P=\frac{x^{2}}{y+2z}+\frac{y^{2}}{z+2x}+\frac{z^{2}}{x+2y}$$
Câu 7.
Cho dãy số $\left ( x_{n} \right )$ xác định bởi: $ln\left ( 1+x_{n}^{2} \right )+nx_{n}=1$ với mọi $n\in \mathbb{N}*$
Tìm giới hạn $$\lim \frac{n\left ( 1-nx_{n} \right )}{x_{n}}$$
Câu 8.
Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại hai điểm $A$ và $B$. Trên đường thẳng $AB$ lấy điểm $P$. Từ $P$ vẽ hai tiếp tuyến $PC,PD$ lần lượt tới $(O)$ và $(O')$ ($C,D$ là tiếp điểm). Vẽ tiếp tuyến chung $MN$ của hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ với $M\in \left ( O \right )$ và $N \in \left ( O' \right )$.
Chứng minh ba đường thẳng $AB,CM,DN$ đồng quy.
Câu 9.
Trong một giải thi đấu thể thao vòng tròn một lượt có $n$ vận động viên $A_{1},A_{2},...,A_{n}$ $\left ( n>1 \right )$ tham gia. Mỗi vận động viên thi đấu với tất cả vận động viên còn lại theo nguyên tắc đấu không có hòa. Đặt $W_{k}$ và $L_{k}$ là số trận thắng và số trận thua tướng ứng của vận động viên $A_{k}$ với $k=\overline{1;n}$
Chứng minh rằng
$$\sum_{k=1}^{n}W_{k}^{2}=\sum_{k=1}^{n}L_{k}^{2}$$
5. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Long An năm học 2014-2015
Chứng minh rằng không thể lát $24$ viên gạch hình A thành sàn nhà như hình B được.
6. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Vĩnh Phúc 2014 - 2015
(Một ví dụ về ba loại quân domino)
8. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Bình Thuận 2014 - 2015
8. Đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia THPT chuyên Quốc Học 2014-2015
Câu 1. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa ab+bc+ca=1. Chứng minh rằng
$\sum \frac{a^{3}}{1+9b^{2}ac}\geq \frac{(a+b+c)^{^{3}}}{18}$
Câu 2. Tìm tất cả hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa
$f(x^{3})+f(y^{3})=(x+y)(f(x^{2})+f(y^{2})-f(xy))$
Câu 3. Cho dãy số $u_{n}$ xác định
$\left\{\begin{matrix}u_{1}=1 \\ u_{n+1}=5u_{n}+\sqrt{Ku_{n}^{2}-8} \end{matrix}\right.$
Tìm K nguyên dương sao cho mọi số hạng của dãy $u_{n}$ đềulà số nguyên.
Câu 4. Cho ABC là tam giác nhọn có trực tâm H và chân các đường cao vẽ từ B,C theo thứ tự M, N. Gọi P là điểm tùy ý trên cạnh BC, X là điểm đối xứng của P qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BPN, Y là điểm đối xứng của P qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CPM. Chứng minh rằng H,X,Y thẳng hàng.
Câu 5. Gọi N là số nguyên lớn hơn số nguyên tó thứ 2015. Chứng minh tồn tại 1 dãy gồm N số nguyên dương liên tiếp chứa đúng 2014 số nguyên tố.
Câu 6. Tìm tất cả các đa thức $P(x)\epsilon \mathbb{R}$ với hệ số thực sao cho đa thức sau là hằng số
$(x+1)P(x-1)-(x-1)P(x)$.
Câu 7. Cho tam giác ABC có D là trung điểm BC. Giả sử $\widehat{DAB}=\widehat{BCA};\widehat{DAC}=15^{\circ}$. Chứng minh góc ADC tù. Hơn nữa nếu O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC. Chứng minh AOD là tam giác đều.
Câu 8. Cho a,b là 2 số nguyên dương; g, l lần lượt là ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của a, b.
a) Chứng minh $g+l\leq ab+1$. Dấu bằng xảy ra khi nào?
b) Giả sử ab>2 và g+l chia hết a+b. Chứng minh lúc đó thương của chúng không vượt quá $\frac{a+b}{4}$.
9. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2014 - 2015
Vòng 1
Câu 1.
1) Giải phương trình: $x=2-(2-x^{2})^{2}$
2) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^2+xy-y=3x\\3x^2-2y^2+y=3x \end{matrix}\right.$
Câu 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $f(x)=\frac{\sqrt{2x-x^2}+2}{1+\sqrt{2x-x^2}}$ trên đoạn $[\frac{1}{4};\frac{3}{2}]$.
Câu 3.
1) Ba góc $\alpha,\beta,\gamma\in(0;\frac{\pi}{2})$ thỏa mãn: $cos(\alpha-\beta)=1,sin(\beta+2\gamma)=0$. Chứng minh rằng: $cos\alpha+cos\beta+cos\gamma \le \frac{3}{2}$.
2) Biết $\frac{1006}{2013}<\frac{a}{b}<\frac{1007}{2015};a,b \in \mathbb{Z}^+$. Chứng minh: $a \ge 2013$.
Câu 4.
Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có thể tích bằng $1$. Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ và có diện tích bằng nửa diện tích của tam giác $AA'C$. Điểm $M$ di động trên $AB$ và điểm $N$ di động trên $A'C'$ sao cho $AM=C'N>0$. Gọi $I$ là trung điểm của đoạn $MN$. Chứng minh rằng: $I$ luôn luôn nằm trên một mặt phẳng cố định. Tìm giá trị nhỏ nhất trong các khoảng cách từ $I$ đến đường thẳng $AA'$ khi $MN$ thay đổi.
Câu 5.
Cho tập hợp $A$ có $n$ phần tử ($n>1$) và đánh dấu $n$ phần tử đó là $a_1,a_2,...,a_k,...,a_n$. Sắp xếp $n$ phần tử của $A$ thành dãy hàng ngang theo thứ tự từ trái sang phải, gọi dãy như vậy là dãy $(*)$. Gán cho phần tử $a_k$ ($k=1,2,...,n$) trong dãy $(*)$ một giá trị $G_k$ theo qui tắc sau:
+ Nếu $a_k$ đứng ở vị trí đầu tiên trong dãy $(*)$ thì $G_k=1$;
+ Gỉa sử $a_k$ đứng từ vị trí thứ hai trở đi và phần tử $a_i$ đứng bên trái $a_k$ thì $G_k=k$ nếu $k>i$ và $G_k=1$ nếu $k<i$.
Đặt $S=G_1+G_2+...+G_n$. Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $S$ đạt được khi các dãy $(*)$ thay đổi.
Tìm số phần tử của tập $A$ trong mỗi trường hợp sau:
1) Biết $M-m=15$.
2) Cả hai giá trị $M$ và $m$ đều là số nguyên tố.
Vòng 2 Cà Mau
Câu 1. Giải phương trình: $\sqrt{3-2\sqrt{3-4sinx}}=2sinx$.Vòng 2 Cà Mau
Câu 2. Cho các số x, y thỏa mãn: $0<x\le 1,0<y\le 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$F=\frac{x^5+y+4}{x} +\frac{y^4-2y^3+x}{y^2}$.
Câu 3. Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi: $u_1=1, u_{n+1}=3u_n+a, \forall n\in \mathbb{N}, n\ge 1$ và a là số nguyên tố. Xét dãy $(v_n): v_n=u_n+b, b\in \mathbb{N}$. Tìm a và b sao cho $(v_n)$ là một cấp số nhân. Từ đó tìm số hạng tổng quát của $(v_n)$.
Câu 4. Cho đa thức $P(x)=x^4+ax+a, a\in \mathbb{R}$. Xác định a để P(x) có nghiệm thực và chứng minh rằng với $a\ge \frac{256}{27}$ thì nghiệm $x_0$ của P(x) thỏa mãn: $x_{0}^2 < 2a^2+1$.
Câu 5. Tổ 1 gồm có 7 người nam và 5 người nữ. Trong 7 người nam đó có tổ trưởng tên là A. Thầy chủ nhiệm phân công tổ 1 trực nhật 6 ngày trong tuần, mỗi người đều phải trực một ngày và mỗi ngày đều có hai người trực.
1) Có bao nhiêu cách phân công tổ 1 trực nhật một tuần?
2) Một cách phân công trực nhật được gọi là cách phân công “tốt” nếu trong cách phân công đó có A là người trực ngày đầu tiên và có đúng một ngày trong tuần cả hai người trực nhật đều là nam. Lấy ngẫu nhien một cách phân công trực nhật, tìm xác suất lấy được cách phân công “tốt”.
1) Chứng minh rằng $\frac{FK}{HF}\le 2+\sqrt {6}$.
2) Chứng minh rằng: nếu $\frac{FK}{HF}=2+\sqrt{6}$ thì $(O_1;R_1)$ và $(O_2;R_2)$ tiếp xúc nhau. Khi đó tính $\frac{R_1}{R_2}$.
1. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Bình Định năm học 2014-2015
Bài 1.
Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix} 2x+\frac{1}{x+y}=3\\ 4xy+4x^2+4y^2+\frac{3}{\left ( x+y \right )^2}=7 \end{matrix}\right.$$
Bài 2.
a) Cho $p$ là một số nguyên tố, $k$ là một số nguyên dương. Một đường trong được chia thành $p$ cung bằng nhau. Tiến hành tô các cung bằng $k$ màu khác nhau ( mỗi cung được tô bằng một màu). Hai cách tô màu được coi là giống nhau nếu cách tô này sẽ thu được từ cách tô kia qua một phép quay với tâm là tâm của đường tròn. Hỏi có bao nhiêu cách tô màu khác nhau?
b) Tìm tất cả các đa thức thỏa mãn điều kiện: $$P\left( x \right)=\sqrt{P\left( {{x}^{2}}+1 \right)-7}+6,\forall x\ge 0,P\left( 0 \right)=6$$
Bài 3.
Cho số thực . Xét dãy số xác định bởi:
$$\left\{\begin{matrix} x_1=a\\ x_{n+1}=1+ln\left ( \frac{x_n^2}{1+lnx_n} \right ) \end{matrix}\right.$$ với n=1,2,…
Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Bài 4.
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O;R).$ Với mỗi điểm $M$ trong đường tròn ta gọi $A’,B’,C’$ lần lượt là giao điểm của $AM,BM,CM$ với đường tròn. Tìm tập hợp các điểm $M$ trong đường tròn thỏa mãn hệ thức sau:
$$\frac{MA}{MA'}+\frac{MB}{MB'}+\frac{MC}{MC'}\le 3$$
Bài 5.
Cho 2 điểm cố định $A, B$ và điểm di động trên mặt phẳng sao cho $\hat{ACB}=a \ (0<a<180)$ không đổi cho trước. Hình chiếu của tâm đường tròn nội tiếp $I$ của tam giác $ABC$ xuống ba cạnh $AB,\ BC,\ CA$ lần lượt là $D,E,F$. $AI$ và $BI$ cắt $EF$ lần lượt tại $M,N$.
a) Chứng minh độ dài $MN$ không đổi.
b) CM đường tròn $(DMN)$ luôn đi qua một điểm cố định.
a) Chứng minh độ dài $MN$ không đổi.
b) CM đường tròn $(DMN)$ luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 1.
1) Giải phương trình: $\sqrt[3]{7-16x}+2.\sqrt{2x+8}=5$
2) Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix}y^3(4x^2+1)+2(y^2+1)\sqrt{y}=6 & \\ y^2x(2+2\sqrt{4x^2+1})=y+\sqrt{y^2+1} & \end{matrix}\right.$$
Bài 2.
1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình $(x^2-4x+3)(x^2-2x)=4(y^2+2)$
2) Cho tam giác vuông có độ dài các cạnh là các số nguyên, hai trong các số đó là số nguyên tố và hiệu của chúng bằng 8. Tính giá trị nhỏ nhất của cạnh thứ ba nhận được
Bài 3.
1) Trong mặt phẳng cho đường thẳng $(\Delta )$ và đường tròn $(O,R)$ cố định với $(\Delta )$ tiếp xúc với $(O)$ tại $A$, điểm $M$ di động ngoài đường tròn $(O)$ sao cho đường thẳng qua $M$ tiếp xúc $(O)$ tại $T$ và đoạn $MT$ bằng khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $(\Delta )$. Chứng minh rằng đường tròn tâm $M$ bán kính $MT$ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
2) Cho tam giác $ABC$ thay đổi và có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn $(O,R)$ cố định. Gọi $A',B',C'$ lần lượt là giao điểm thứ hai của các đường cao vẽ từ các đỉnh $A,B,C$ với đường tròn $(O)$. Xác định độ dài các cạnh của tam giác $ABC$ sao cho diện tích lục giác $AB'CA'BC'$ lớn nhất.
Bài 4.
1) Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi: $x_0=2$, $x_{n+1}=\frac{2x_n+1}{x_n+2}\forall n\in \mathbb{N}$. Tìm công thức tổng quát của $x_n$ và tìm $limx_n$
2) Tìm $f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $\left(\frac{-1}{3},\frac{1}{3}\right)$ thỏa mãn:
$$f(x)+f(y)=f\left ( \frac{x+y}{1+9xy} \right )$$
và $f'(0)=6$
Bài 5.
Cho ba số không âm $a,b,c$. Chứng minh rằng:
$$\sqrt{5a^2+4bc}+\sqrt{5b^2+4ca}+\sqrt{5c^2+4ab}\geq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}+2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})$$
3. Đề thi chọn đội tuyển HSG QG tỉnh Yên Bái năm học 2014-2015
Câu 1. Giải hệ phương trình
$$\left\{\begin{matrix} 4x^{2}y+\sqrt{x}=3\\ 2x^{2}y\left ( 1+\sqrt{4y^{2}+1} \right )=x+\sqrt{x^{2}+1} \end{matrix}\right.$$
Câu 2.
Tìm tất cả các hàm $f:\left ( 0,\propto \right )\rightarrow \left ( 0,\propto \right )$ thỏa mãn
$$x^{2}\left ( f(x)+f(y) \right )=\left ( x+y \right )f\left ( y \left ( x \right ) \right )\forall x,y\in \left ( 0,\propto \right )$$
Câu 3.
Cho tam giác đều $ABC$. $P$ là một điểm bất kì trên đường tròn ngoại tiếp tam giác. Đường thẳng qua $P$ tương ứng vuông góc với $BC,CA,AB$ cắt các đường thẳng $AB,BC,CA$ theo thứ tự tại $I,G,K$. Chứng minh rằng $I,G,K$ thẳng hàng
Câu 4.
Tìm các số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn phương trình
$$3^{x-1}+1=2^{y}$$
Câu 5.
Trong mặt phẳng cho $2015$ điểm phân biệt $A_{1},A_{2},...,A_{2015}$
Chứng minh rằng, trên bất kì đường tròn có bán kính bằng $1$ ta luôn tìm được điểm $M$ thỏa mãn tính chất
$$MA_{1}+MA_{2}+...+MA_{2015}\geq 2015$$
Câu 6.
Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn
$$3\left ( x^{4}+y^{4}+z^{4} \right )-7\left ( x ^{2}+y^{2}+z^{2}\right )+12=0$$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$$P=\frac{x^{2}}{y+2z}+\frac{y^{2}}{z+2x}+\frac{z^{2}}{x+2y}$$
Câu 7.
Cho dãy số $\left ( x_{n} \right )$ xác định bởi: $ln\left ( 1+x_{n}^{2} \right )+nx_{n}=1$ với mọi $n\in \mathbb{N}*$
Tìm giới hạn $$\lim \frac{n\left ( 1-nx_{n} \right )}{x_{n}}$$
Câu 8.
Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại hai điểm $A$ và $B$. Trên đường thẳng $AB$ lấy điểm $P$. Từ $P$ vẽ hai tiếp tuyến $PC,PD$ lần lượt tới $(O)$ và $(O')$ ($C,D$ là tiếp điểm). Vẽ tiếp tuyến chung $MN$ của hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ với $M\in \left ( O \right )$ và $N \in \left ( O' \right )$.
Chứng minh ba đường thẳng $AB,CM,DN$ đồng quy.
Câu 9.
Trong một giải thi đấu thể thao vòng tròn một lượt có $n$ vận động viên $A_{1},A_{2},...,A_{n}$ $\left ( n>1 \right )$ tham gia. Mỗi vận động viên thi đấu với tất cả vận động viên còn lại theo nguyên tắc đấu không có hòa. Đặt $W_{k}$ và $L_{k}$ là số trận thắng và số trận thua tướng ứng của vận động viên $A_{k}$ với $k=\overline{1;n}$
Chứng minh rằng
$$\sum_{k=1}^{n}W_{k}^{2}=\sum_{k=1}^{n}L_{k}^{2}$$
5. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Long An năm học 2014-2015
Câu 1.
Cho ba số dương $a, b, c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm GTNN của: $$P=\dfrac{a}{b^2+c^2}+\dfrac{b}{c^2+a^2}+\dfrac{c}{a^2+b^2}$$
Câu 2.
Tìm số hạng tổng quát của dãy $(x_n)$ biết rằng: $$\begin{cases}x_0=1, x_1=5, x_2=125\\x_{n+2}x_nx_{n-1}=3(x_{n+1})^2x_{n-1}+10x_{n+1}(x_n)^2\end{cases}(n\in\mathbb{N^*})$$
Câu 3.
Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm $O$. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm $BC, CA, AB$. Gọị $d_1$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $OA$, $d_2$ là đường thẳng qua $N$ và song song với $OB$, $d_3$ là đường thẳng qua $P$ và song song với $OC$. Chứng minh rằng $d_1, d_2, d_3$ đồng qui.
Câu 4.
Viết tất cả các số $\dfrac{1}{2014}, \dfrac{2}{2014},...,\dfrac{2014}{2014}$ lên bảng. Ta thực hiện công việc xóa đi hai số $a, b$ bất kỳ trên bảng đồng thời điền lên bảng một số mới là $a+b-2014ab$. Sau một số hữu hạn lần thực hiện, trên bảng chỉ còn một số. Số đó là số nào?
Câu 5
Tìm tất cả hàm số $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$, biết rằng $f$ là hàm chẵn và thỏa mãn: $$f(xy)-f(x)f(y)=2014(f(x+y)-2xy-1),\forall x, y\in \mathbb{R}$$
Câu 6
Cho $a, b, c$ là các số nguyên thỏa mãn $a^4+b^4+c^4$ chia hết cho $9$. Chứng minh rằng có ít nhất một trong các số $a^2-b^2, b^2-c^2, c^2-a^2$ chia hết cho $9$.
Câu 7.
Cho viên gạch kích thước $1\times 4$ (hình A) và sàn nhà kích thước $10\times 10$ đã bị mất bốn ô vuông (hình B):
6. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Vĩnh Phúc 2014 - 2015
Câu 1.
a) Tìm điều kiện của tham số $m$ để hàm số $y=x^3+3mx^2+3(m+1)x+2$ nghịch biến trên một khoảng có độ dài lớn hơn $4$.
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của $a$, đường thẳng $d:y=x+a$ luôn cắt đồ thị hàm số $y=\frac{-x+1}{2x-1} \ \ (H)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$. Gọi $k_1,k_2$ lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến với $(H)$ tại $A,B$. Tìm $a$ để tổng $k_1+k_2$ đạt giá trị lớn nhất.
Câu 2.
a) Giải phương trình: $2\cos^2x + 2\sqrt{3}\sin x\cos x + 1 = 3 \left( \sin x + \sqrt{3}\cos x \right)$
b) Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số $\overline{abc}$ thỏa mãn điều kiện $a\leq b \leq c$.
Câu 3.
Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix}x^3-y^3-3x^2+6y^2=-6x+15y-10\\ y\sqrt{x+3}+(y+6)\sqrt{x+10}=y^2+4x\end{matrix}\right.$$
Câu 4.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có trung điểm cạnh $BC$ là $M(3;-1)$, đường thẳng chứa đường cao kẻ từ đỉnh $B$ đi qua $E(-1;-3)$ và đường thẳng chứa cạnh $AC$ đi qua $F(1;3)$. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác $ABC$, biết rằng điểm đối xứng của $A$ qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là $D(4;-2)$.
Câu 5.
Cho hình chóp $S.ABCD$ thỏa mãn $SA=a\sqrt{5}, SB=SC=SD=AB=BC=CD=DA=a\sqrt{3}$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Tính thể tích khối chóp $S.MCD$ và khoảng cách giữa $SM,CD$.
Câu 6.
Cho các số thực $a,b,c \geq 1$ thỏa mãn $a+b+c=6$. Chứng minh rằng:
$$(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) \leq 216$$
7. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Hải Dương 2014 - 2015
Câu 1. Cho các số thực $x,y,z$ thay đổi thỏa mãn $4^x+4^y+4^z=1$. Tìm giá trị lớn nhất của:
$$S=2^{x+2y}+2^{y+2z}+2^{z+2x}-2^{x+y+z}$$
Câu 2. Cho tam giác không cân $ABC$ có $H$ là chân đường cao kẻ từ $A$ và $M$ là trung điểm $BC$. Gọi $N$ là hình chiếu vuông góc của $C$ trên đường thẳng $AM$, $P_1$ là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $HMN$ và đường tròn đường kính $AB$ ($P_1\neq H$). Như vậy ta dựng được điểm $P_1$ tương ứng với đỉnh $A$, tương tự ta dựng điểm $P_2$ tương ứng với đỉnh $B$ và điểm $P_3$ tương ứng với đỉnh $C$. CMR: $AP_1,BP_2,CP_3$ đồng quy.
Câu 3. Tìm tất cả $c\in \mathbb{N}$ sao cho tồn tại $a,b\in \mathbb{Z}$ thỏa mãn $a^n+2^n$ là ước của $b^n+c$ với $n\in \mathbb{Z^+}$. Với mỗi bộ $(a,b,c)$ ở trên mà $c$ lớn nhất, chứng minh rằng $a,b$ không đồng thời là hai số chính phương.
Câu 4. Cho $n$ nguyên dương, $n\geq 3$, xét một bảng vuông $n\times n$ gồm $n^2$ hình vuông đơn vị. Ta phủ bảng vuông đó bởi ba loại quân domino: Loại $1$: $1\times m$ ($1$ hàng, $m$ cột, $m$ là số nguyên có thể thay đổi ,$m\geq 2$); Loại $2$: $p\times 1$ ($p$ hàng, $1$ cột, $p$ nguyên có thể thay đổi, $p\geq 2$); Loại $3$: $1\times 1$ ($1$ hàng, $1$ cột). Biết rằng không có $2$ quân domino hàng chồng lên nhau và không được phép quay hoặc lật các quân domino để biến quân domino loại $1$ thành loại $2$ và ngược lại. Gọi $K$ là số quân domino cần dùng để phủ hết bảng vuông sao cho số quân domino loại $3$ là loại $2$ bằng nhau. Tìm giá trị nhỏ nhất của $K$.
$$ \begin{matrix}\blacksquare \blacksquare \blacksquare & \begin{matrix}\blacksquare \\ \blacksquare \end{matrix}& \blacksquare \\ \text{loại I}& \text{loại II}&\text{loại III} \end{matrix} $$Câu 2. Cho tam giác không cân $ABC$ có $H$ là chân đường cao kẻ từ $A$ và $M$ là trung điểm $BC$. Gọi $N$ là hình chiếu vuông góc của $C$ trên đường thẳng $AM$, $P_1$ là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $HMN$ và đường tròn đường kính $AB$ ($P_1\neq H$). Như vậy ta dựng được điểm $P_1$ tương ứng với đỉnh $A$, tương tự ta dựng điểm $P_2$ tương ứng với đỉnh $B$ và điểm $P_3$ tương ứng với đỉnh $C$. CMR: $AP_1,BP_2,CP_3$ đồng quy.
Câu 3. Tìm tất cả $c\in \mathbb{N}$ sao cho tồn tại $a,b\in \mathbb{Z}$ thỏa mãn $a^n+2^n$ là ước của $b^n+c$ với $n\in \mathbb{Z^+}$. Với mỗi bộ $(a,b,c)$ ở trên mà $c$ lớn nhất, chứng minh rằng $a,b$ không đồng thời là hai số chính phương.
Câu 4. Cho $n$ nguyên dương, $n\geq 3$, xét một bảng vuông $n\times n$ gồm $n^2$ hình vuông đơn vị. Ta phủ bảng vuông đó bởi ba loại quân domino: Loại $1$: $1\times m$ ($1$ hàng, $m$ cột, $m$ là số nguyên có thể thay đổi ,$m\geq 2$); Loại $2$: $p\times 1$ ($p$ hàng, $1$ cột, $p$ nguyên có thể thay đổi, $p\geq 2$); Loại $3$: $1\times 1$ ($1$ hàng, $1$ cột). Biết rằng không có $2$ quân domino hàng chồng lên nhau và không được phép quay hoặc lật các quân domino để biến quân domino loại $1$ thành loại $2$ và ngược lại. Gọi $K$ là số quân domino cần dùng để phủ hết bảng vuông sao cho số quân domino loại $3$ là loại $2$ bằng nhau. Tìm giá trị nhỏ nhất của $K$.
(Một ví dụ về ba loại quân domino)
8. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Bình Thuận 2014 - 2015
Bài 1.
1. Giải bất phương trình: $x^3-3x^2+2\sqrt{(x+3)^3}-9x\geq 0$
2. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để bất phương trình sau có nghiệm trên $[-2;3]$
$$\sqrt{(m-2)x+m}\geq |x-1|$$
Bài 2.
1. Cho $a,b$ là 2 số thỏa điều kiện: $a^2+b^2+9=6a+2b$. Chứng minh $4b\leq 3a$
2. Cho dãy $(u_n)$ thỏa:
$$u_1=1,u_2=2,u_{n+2}=\frac{2}{3}u_{n+1}+\frac{1}{3}u_n, \forall n\in \mathbb{N},n>0$$.
Tìm $u_n$
Bài 3.
1. Cho tứ diện $ABCD$ có $$AB=AC=a;BC=\frac{a}{2};AD=a\sqrt{3};\widehat{DAB}=\widehat{DAC}=30^{\circ}$$.
Tính $d(AD;BC);V_{ABCD}$
2. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho $M(2;3)$. Đường thẳng $d$ qua $M$ có hệ số góc âm, $d$ cắt trục hoàng tại $A$, trục tung tại $B$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $S_{OAB}$.
Bài 4.
Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} 2x^3+2y^2+y+1=0\\ 2y^3+2z^2+z+1=0 \\ 2z^3+2x^2+x+1=0\end{matrix}\right.$
8. Đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia THPT chuyên Quốc Học 2014-2015
Câu 1. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa ab+bc+ca=1. Chứng minh rằng
$\sum \frac{a^{3}}{1+9b^{2}ac}\geq \frac{(a+b+c)^{^{3}}}{18}$
Câu 2. Tìm tất cả hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa
$f(x^{3})+f(y^{3})=(x+y)(f(x^{2})+f(y^{2})-f(xy))$
Câu 3. Cho dãy số $u_{n}$ xác định
$\left\{\begin{matrix}u_{1}=1 \\ u_{n+1}=5u_{n}+\sqrt{Ku_{n}^{2}-8} \end{matrix}\right.$
Tìm K nguyên dương sao cho mọi số hạng của dãy $u_{n}$ đềulà số nguyên.
Câu 4. Cho ABC là tam giác nhọn có trực tâm H và chân các đường cao vẽ từ B,C theo thứ tự M, N. Gọi P là điểm tùy ý trên cạnh BC, X là điểm đối xứng của P qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BPN, Y là điểm đối xứng của P qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CPM. Chứng minh rằng H,X,Y thẳng hàng.
Câu 5. Gọi N là số nguyên lớn hơn số nguyên tó thứ 2015. Chứng minh tồn tại 1 dãy gồm N số nguyên dương liên tiếp chứa đúng 2014 số nguyên tố.
Câu 6. Tìm tất cả các đa thức $P(x)\epsilon \mathbb{R}$ với hệ số thực sao cho đa thức sau là hằng số
$(x+1)P(x-1)-(x-1)P(x)$.
Câu 7. Cho tam giác ABC có D là trung điểm BC. Giả sử $\widehat{DAB}=\widehat{BCA};\widehat{DAC}=15^{\circ}$. Chứng minh góc ADC tù. Hơn nữa nếu O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC. Chứng minh AOD là tam giác đều.
Câu 8. Cho a,b là 2 số nguyên dương; g, l lần lượt là ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của a, b.
a) Chứng minh $g+l\leq ab+1$. Dấu bằng xảy ra khi nào?
b) Giả sử ab>2 và g+l chia hết a+b. Chứng minh lúc đó thương của chúng không vượt quá $\frac{a+b}{4}$.
9. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2014 - 2015
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét