Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi quốc gia Việt Nam - Phần 1

1. Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi quốc gia của trường THPT chuyên KHTN năm học 2014 - 2015
Ngày 1
Bài 1. Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} (4x-y^2)(x^2+2)=12x+1\\ (4y-z^2)(y^2+2)=12y+1\\ (4z-x^2)(z^2+2)=12z+1 \end{matrix}\right.$
Bài 2. Tìm các số nguyên dương

$x,y$ thỏa mãn :

$2^x+11=19^y$
Bài 3. Cho tam giác

$ABC$ nội tiếp đường tròn

$(O)$ . Trên cung

$BC$ không chứa A lấy hai điểm

$M,N$ sao cho

$MN//BC$ ( Tia

$AM$ nằm giữa tia

$AB$ và tia

$AN$ ). Trên tia

$BM,CN$ lấy điểm

$P,Q$ sao cho

$BP=BN=CM=CQ$ . Đường thẳng

$AM,AN$ cắt đường thẳng

$PQ$ lần lượt tại

$S,T$ .

$BT,CS$ lần lượt cắt cạnh

$CQ,BP$ tại

$L,K$ . Chứng minh rằng

$AK=AL$
Bài 4. Cho tập hợp

$A=\begin{Bmatrix} 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \end{Bmatrix}$ Tìm số k lớn nhất sao cho có thể chọn được k tập con thỏa mãn hợp của 4 tập con bất kì không vượt quá 8 phần tử.
Ngày 2
Bài 1. Cho

$a\in \begin{bmatrix} 0,1 \end{bmatrix}$ và dãy

$\begin{Bmatrix} x_{n} \end{Bmatrix}$ thỏa mãn

$x_{1}=\frac{a+1}{4}$ và

$x_{n+1}=x_{n}^{2}+\frac{a}{4}$ .
1. Chứng minh dãy

$\begin{Bmatrix} x_{n} \end{Bmatrix}$ hội tụ.
2. Chứng minh rằng

$x_{n}-b<\frac{1}{n}$ với

$lim(x_{n})=b$
Bài 2. Tìm hàm

$f:\mathbb{Z}^+\rightarrow \mathbb{Z}^+$ thỏa mãn :

$f(m^2+f(n))=f(m)^2+n$
Bài 3. Cho tam giác

$ABC$ nội tiếp

$(O)$ ngoại tiếp

$(I)$ . Trung tuyến

$AM$ . Qua M kẻ đường thằng vuông góc với

$BI,CI$ cắt

$AB,AC$ tại

$F,E$ . Đường tròn ngoại tiếp tam giác

$\bigtriangleup MEF$ cắt cạnh

$BC$ tại điểm D khác M. Lấy

$S$ là trung điểm cung

$BC$ chứa

$A$ . Đường thẳng qua

$D$ vuông góc với

$BC$ cắt đường thẳng qua

$S$ song song với

$OI$ tại

$T$ . Gọi

$K,L$ lần lượt là đối xứng của

$T$ qua

$E,F$ . Chứng minh rằng

$CK,BL,ST$ đồng quy tại một điểm trên

$(O)$
Bài 4. Cho tập hợp

$S=\begin{Bmatrix} 1,2,3,.......,2014 \end{Bmatrix}$ . Hỏi có bao nhiêu hàm

$f:S\rightarrow S$ thỏa mãn

$f(n)\leqslant n \vee n\in S$

Đề thi chọn đội tuyển Quốc Gia Tp. HCM 2014 - 2015

Ngày 2

Bài 1. Tìm đa thức

$P(x)$ khác đa thức không sao cho

$[P(x)]^n=P(x^n)$ với

$\forall x\in\mathbb R$ và

$n\ge 1$ .

Bài 2. Có bao nhiêu số tự nhiên có 10 chữ số khác nhau trong đó các chữ số

$1,2,3,4,5$ được sắp xếp theo thứ tự đó từ trái qua phải nhưng các số

$1,2,3,4,5,6$ thì không.

Bài 3. Cho số nguyên tố

$p$ . Gọi

$a_p$ là hệ số của

$n^p$ trong

$\sum_{k=0}^pC_p^k (n+2014)^{n+p}$ . Chứng minh rằng

$a_p\equiv 2014^p+2015^p (mod p^2)$ .

Bài 4. Cho

$\Delta ABC$ nhọn

$(AB<AC)$ , đường cao

$AL, BD, CE$ cắt nhau tại

$H$ . Đường tròn

$(O)$ đi qua

$A,E$ tiếp xúc

$BC$ tại

$M$ . Gọi

$K$ là giao điểm của

$ME$ với đường tròn

$(AED)$ và

$M$ là giao điểm của

$KD$ với

$BC$ . Chứng minh

$MH, KL, AN$ đồng quy.

Bài 5. Cho

$A=\{a_1,a_2,...,a_n\}$ với

$2\le n\le 2014$ và

$a_i\le 2014$ sao cho nếu tồn tại

$(a_i+a_j)\le 2014$ thì

$(a_i+a_j)\in A$ . Chứng minh rằng

$\dfrac{a_1+a_2+...+a_n}{2}\ge \dfrac{2015}{2}$ .

Đề thi chọn đội tuyển HSG QG tỉnh Lâm Đồng năm học 2014-2015

Câu 1. Giải hệ phương trình :

$\left\{\begin{matrix}(x+y)^3-27x=5(\sqrt[3]{32x-15}-3-y)\\ 2x^3=y(y^2+x^2)\end{matrix}\right.$

Câu 2. Cho dãy số

$(u_n)$ xác định như sau:

$\left\{\begin{matrix}u_1=1\\ u_{n+1}=u_n^{2015}+3u_n^{2014}+u_n \end{matrix}\right.$ với mọi

$n=1,2,3,...$

Tính

$\lim \frac{u_1^{2014}}{u_2+3}+\frac{u_2^{2014}}{u_3+3}+\frac{u_3^{2014}}{u_4+3}...+\frac{u_n^{2014}}{u_{n+1}+3}$

Câu 3. Cho

$a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn

$a+b+c=3$

Chứng minh rằng :

$a^3+b^3+c^3+2\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right) \geq 3(ab+bc+ca)$

Câu 4. Cho đường tròn

$(C_1)$ tâm

$I$ . Lấy điểm

$O$ trên

$(C_1)$ , dưng đường tròn

$(C_2)$ tâm

$O$ cắt

$(C_1)$ tại

$C$ và

$D.$ Tiếp tuyến với

$(C_2)$ tại

$C$ cắt

$(C_1)$ tại

$A$ và tiếp tuyến với

$(C_1)$ tại

$C$ cắt

$(C_2)$ tại

$B.$ Đường thẳng

$AB$ cắt

$(C_1)$ tại

$F(F\neq A)$ và cắt

$(C_2)$ tại

$E(E \neq B).$ Đường thẳng

$CE$ cắt

$(C_1)$ tại

$G(G \neq C),$ đường thẳng

$CF$ cắt đường thẳng

$GD$ tại

$H.$

1) Chứng minh

$CG$ song song với

$FD.$

2) Chứng minh tam giác

$EGD$ cân.

3) Chứng minh

$CH$ là đường trung trực của

$FD.$

Câu 5. Từ các chữ số

$1,3,5,9$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho

$3,$ mỗi số gồm

$2014$ chữ số.

Đề thi chọn đội tuyển HSG dự thi QG tỉnh Phú Thọ năm học 2014-2015
Ngày 1.
Câu 1. Cho dãy số

$\left ( x_n \right )$ xác định bởi :

$\left\{\begin{matrix} x_1=1\\ x_{n+1}=\frac{n+1}{n+2}x_n+n^2 \end{matrix}\right.$ với

$n=1,2,3...$
Tính giới hạn :

$\lim_{n\rightarrow +\propto }\left ( \frac{\sqrt[3]{x_n}}{1+n} \right )$
Câu 2. Tìm tất cả đa thức

$P(x)$ với hệ số thỏa mãn

$2P^3\left ( x \right )-3=-P\left ( x^3-1 \right ),\forall x$
Câu 3. Cho 3 điểm

$A,B,C$ theo thứ tự thuộc đường thẳng

$d$ ,

$M$ là một điểm duy nhất thay đổi trên đường thẳng qua

$C$ và vuông góc với

$d$ . Từ

$M$ vẽ các tiếp tuyến

$MD,ME$ đến đường tròn đường kính

$AB$ , trong đó

$D,E$ là các tiếp điểm . Chứng minh trực tâm

$H$ của tam giác

$MDE$ thuộc một đường tròn cố định.
Câu 4. Trong một kỳ thi có 30 thí sinh và 5 giám khảo. Mỗi giám khảo đánh giá từng thí sinh và cho kết luận thí sinh đó đỗ hay trượt. Giả sử

$k$ là một số thỏa mãn điều kiện. Với hai giám khảo bất kỳ , số thi sinh mà họ cho kết luận giống nhau nhiều nhất là

$k$ . Chứng minh rằng :

$k\geq 12$ .
Ngày 2
Câu 5. Cho số thực không âm

$x,y,z$ thỏa mãn :

$x^2+y^2+z^2=2$ . Tìm giá trị lớn nhất của :