Dựng hình bằng thước kẻ và compa: Bài toán Chia ba một góc

Phép dựng hình bằng compa và thước kẻ là phép dựng các độ dài, góc, và các hình hình học khác bằng cách chỉ sử dụng một thước kẻ thẳng lý tưởng và compa. Ba bài toán dựng hình bằng thước kẻ và compa nổi tiếng nhất là:

1) Bài toán chia 1 góc thành 3 phần bằng nhau.

2) Bài toán cầu phương hình tròn

3) Bài toán gấp đôi hình lập phương

Trong bài viết này ta tìm hiểu về bài toán chia 1 góc bất kỳ thành 3 phần bằng nhau. Chia đôi một góc đã cho bằng cách chỉ sử dụng một cặp com-pa và một cạnh thẳng là một việc dễ dàng. Thế nhưng, chia ba góc-tức chia nó thành ba phần bằng nhau, trong nhiều trường hợp điều đó không thể nào làm được.

Chia đôi một góc

Nếu chúng ta có 2 đường thẳng cắt nhau tại điểm O và chúng ta muốn chia đôi góc tạo bởi hai đường thẳng đó, dưới đây là cách làm việc đó.

Đặt chân com-pa tại O và vẽ một đường tròn ( bán kính tùy thích ). Đó chính là cung tròn màu xanh dương trong hình vẽ.Đường tròn sẽ cắt hai đường thẳng tại hai điểm: gọi chúng là A và B.

Bây giờ thì hãy đặt chân com-pa tại A và vẽ một đường tròn, như trong hình vẽ. Không thay đổi bán kính của com-pa, di chuyển nó sang B và vẽ một cung tròn khác. Đó là những cung màu đỏ trong hình vẽ.Nối giao điểm P của hai cung tròn với O bằng cạnh thẳng (đường thẳng màu xanh lá trong hình vẽ), và ta có góc POB chính bằng 1/2 góc AOB. Nếu hai cung tròn không cắt nhau, tất nhiên bạn cần phải vẽ hai đường tròn lớn hơn.

Bạn có thể chứng minh rằng thủ thuật này đúng bằng cách sử dụng các hình tam giác bằng nhau không? Những người Hy Lạp cổ đại chắc chắn biết cách làm việc này.

Chia ba một góc

Việc chia ba một góc thì sao? Tại sao nó lại khó? Có một số trường hợp tam giác đặc biệt có thể làm được, ví dụ như góc π/2 (90 độ). Đối với trường hợp tổng quát, người Hy Lạp vẫn không thể nghĩ ra được cách làm mặc nhiều đã mất rất nhiều công sức để giải quyết vấn đề này.

Chia ba một góc bằng thước kẻ có đánh dấu

Chia ba một góc tùy ý có thể thực hiện được nếu như bạn "ăn gian" bằng cách sử dụng thước đo thay vì một cạnh thẳng đơn giản (bạn có thể tiềm hiểu cách làm trong trang hỏi đáp sci.math), hoặc ngay cả khi bạn chỉ cần vẽ hai điểm nhỏ trên cạnh thẳng của bạn. Tuy nhiên để "chơi đúng luật", bạn không được để bất kì dấu vết nào trên cạnh thẳng - nó phải hoàn toàn trống.

Vấn đề liệu việc chia góc làm ba phần bằng nhau có thể được thực hiện trong trường hợp tổng quát hay không vẫn là một bí ẩn toán học trong hàng thiên niên kỉ - vào năm 1837 điều đó được chứng minh là không thể bởi Pierre Wantzel, một nhà toán học người Pháp và chuyên gia về số học. Đây là một thành tựu tuyệt vời đôi với một người đàn ông 23 tuổi, người mà sau đó qua đời khi còn rất trẻ ở tuổi 33.

Vậy tại sao lại không thể? Pierre cho thấy rằng hai vấn đề chia một góc làm ba phần bằng nhau và giải quyết một phương trình bậc ba là như nhau. Hơn nữa, ông cho thấy rằng chỉ có một số ít phương trình bậc ba có thể giải quyết được bằng phương pháp cạnh thẳng - com-pa, hầu hết đều không thể. Do đó ông đã suy luận rằng hầu hết các góc đều không thể chia làm ba được.

Tuy nhiên, việc chia ba một góc một cách gần đúng được mô tả bởi Steinhaus trong cuốn Mathematical Snapshots, 3rd ed. New York: Dover, 1999. (trước đó nó được môt tả bởi Wazewski 1945; và Peterson, G. "Approximation to an Angle Trisection." Two-Year Coll. Math. J. 14, 166-167, 1983.).

Xấp xỉ chia ba một góc

Bí ẩn thật sự

Mặc dù thực tế rằng chứng minh của Wantzel có nghĩa bây giờ chúng ta biết rằng không thể chia ba một góc tổng quát, thế nhưng mọi người vẫn tiếp tục cố gắng. Viện Toán học trụ sở của tờ PASS Maths đã nhận được những lá thư khá nghiêm trọng từ các cá nhân những người nghĩ rằng họ đã giải mã được vấn đề, cung cấp cho những người nổi tiếng trong viện cơ hội để "mua" các "bằng chứng" (đôi khi bằng một số tiền lớn). Một bức thư thậm chí bỏ một vài trang bằng chứng trên cơ sở đảm bảo quyền tác giả của người viết.

Không cần phải nói, tất cả các cái gọi là bằng chứng trên chứa nhiều sai sót và vô giá trị. Nếu những người này muốn thuyết phục bất kì ai rằng có thể chia một góc làm ba phần bằng nhau thì thời gian đó tốt hơn họ dành để cố gắng tìm kiếm một lỗi sai trong chứng minh của Wantzel. Bí ẩn thực sự ở đây là tại sao mọi người lại tiếp tục cố gắng giải quyết vấn đề của một bằng chứng bất khả thi. Bạn trả lời điều đó thế nào?

Hết phần 1.

Tìm hiểu về Hình học phi Euclid

Ra đời từ thế kỷ thứ III trước Công nguyên, ngày nay, hình học Euclid vẫn được sử dụng rộng rãi trong các trường học trên toàn thế giới. Hệ tiên đề của Euclid gồm 23 định nghĩa, 5 tiên đề và 5 định đề, được coi là mẫu mực về cách xây dựng một lý thuyết trong khoa học.

Năm 12 tuổi, khi được tặng cuốn sách này, nhà bác học tương lai Albert Einstein đã nhận xét rằng "Sự sáng sủa và chắc chắn đó đã mang lại cho tôi một ấn tượng khó tả". Về sau, ông khuyên tất cả những ai muốn đi theo con đường nghiên cứu khoa học nên đọc kỹ nó.

Trong hệ tiên đề của hình học Euclid, định đề V về đường thẳng song song gây ra sự hoài nghi của nhiều thế hệ các nhà toán học. Nội dung của nó được thể hiện qua hình vẽ: Nếu tổng hai góc a và b nhỏ hơn 180 độ thì hai đường thẳng x và y sẽ cắt nhau. Sự hoài nghi tập trung ở điểm: Có thể chứng minh được định đề V này hay không? Nhiều người đã cố công tìm cách chứng minh. Trong hơn 2000 năm, biết bao tài năng toán học dành cả đời mình cho định đề này nhưng đều thất bại.

Đến thế kỷ XIX, đồng thời cả 3 nhà toán học ở Châu Âu độc lập với nhau cùng giải quyết được định đề này, theo cùng một hướng là phủ định định đề V. Bao công lao tìm cách giải bài toán trước đó đều lãng phí vô ích vì lý thuyết mới khẳng định không thể chứng minh được. Ở đây, có một điều gần như là chân lý trong khoa học: Trình độ khám phá khoa học của loài người nói chung là như nhau với mọi nền văn minh, nếu ở đâu đó có người khám phá được một kết quả khoa học mới thì ở một vùng rất xa nó, cũng sẽ có người khác tìm ra, chỉ nhanh chậm hơn nhau một vài năm mà thôi. Điều này làm cho ngày nay một số định lý, định luật phải lấy tên của hai đến ba nhà khoa học khác nhau hoặc tên gọi khác nhau ở từng quốc gia.

Trở lại với ba nhà toán học đã cùng phủ định định đề V. Người đầu tiên sau này nhân loại công nhận là Carl Friedrich Gauss, một nhà bác học vĩ đại người Đức. Trong thư gửi Tolinos, một người bạn của mình năm 1824, ông đã khẳng định: "Tổng ba góc trong một tam giác phẳng phải nhỏ hơn 180 độ, giả định này sẽ dẫn đến những đặc thù khác hoàn toàn với hình học của chúng ta. Tôi phát triển nó và thu được những kết quả hoàn toàn khiến ta hài lòng". Cũng trong một bức thư khác gửi Frants Adonf Taurinus, ông cũng chứng tỏ mình hiểu rõ các ý niệm quan trọng, tuy rời rạc, của hình học phi Euclid. Sau này, ông cũng khẳng định trong thư gửi F. Bolyai rằng ông đã tìm hiểu và khám phá hình học này trong hơn 30 năm. Tiếc rằng ông đã không công bố nó. Vì sao?

Chuyện kể rằng, vào năm 1823, Earkas Bolyai (1775 - 1858) đã viết thư cho người con trai là Janos Bolyai (1802 - 1860) người Hungary rằng : “Con đừng đi vào con đường mà bố đã đi, đừng nhảy vào “hang không đáy” đã nuốt hết trí tuệ, tinh lực và tâm huyết của bố”.

Đây là lời khuyên từ đáy lòng, từ trách nhiệm của người bố đã suốt cả cuộc đời nghiên cứu Định đề 5 của Euclide mà không thành công. Khi biết con mình yêu thích nghiên cứu “lí thuyết các đường song song” thì F. Bolyai đã rất sợ hãi và đã viết cho con mình (trong một bức thư khác) như sau: “Con sẽ không thể nào chiến thắng được lí thuyết các đường song song bằng con đường ấy. Bố đã đi đến cuối con đường ấy và đã lạc vào một đêm đen dày đặc, một tia sáng của ngọn nến cũng không có và đã chôn vùi đó bao niềm hạnh phúc của đời mình. Khi lao vào các học thuật cô quạnh về các đường song song, con sẽ chẳng còn gì cả. Con hãy lẩn tránh nó như lẫn tránh những dục vọng thấp hèn, nó sẽ làm hao mòn sức lực của con, cướp đi sự an nhàn, quấy đảo sự yên tĩnh và sẽ giết chết những niềm vui của cuộc sống. Bóng tối mịt mùng sẽ nuốt chửng cả những chòi tháp khổng lồ và sẽ chẳng có lóe sáng trên trái đất tối tăm: Chẳng bao giờ con người có thể đạt tới một sự thực hoàn mỹ ngay chính trong hình học. Chúa trời hãy cứu vớt con khói những ham mê con ôm ấp...”.


Nhưng F. Bolyai không ngờ rằng câu nói của chính ông trước đây đã làm J. Bolyai bị thu hút vào vấn đề này (câu nói đó có nội dung như sau : “Ai chứng minh được tiên đề về các đường thẳng song song, người đó sẽ sáng ngời như một viên kim cương to bằng Trái Đất”). Và chàng J. Bolyai trẻ tuổi đã không vì những lời cảnh báo của bố mình mà lùi bước, Tránh những thất bại của những người đi trước, J. Bolyai đã đi theo con đường của riêng mình. Ông đã không tìm cách chứng minh Định đề 5 của Euclide mà đã xét nó như một tiên đề độc lập. Và khi phủ định Định đề 5 của Euclide, J. Bolyai đã xây dựng được một hệ thống hình học mới (mà về sau còn được gọi là Hình học phi Euclide). Các kết quả về hình học này của ông cũng phong phú và những chứng minh của ông rất hoàn thiện.


Định đề 5 của Eclide được phát biểu trong cuốn “nguyên lí” như sau: Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng khác tạo thành hai góc trong cùng phía có tổng bé hơn hai góc vuông thì khi kéo dài vô hạn hai đường thẳng này, chúng sẽ cắt nhau về phía hai góc đó


J. Bolyai là một nhà toán học thiên tài, nhưng bị đố kị, chê bai và bị cả những điều đơm đặt về ông. Cuộc sống cửa J. Bolyai luôn bị bọn quý tộc chèn ép, bao vây cả về tinh thần lẫn vật chất. Người bồ chính là một nhà toán học đầy tâm huyết và rất thương con, nhưng từ bài học sai lầm rút ra từ chính cuộc đời nghiên cứu toán học của mình, F. Bolyai đã vô tình trở thành vật cản của con trên con đường tìm tòi, sáng tạo.


Năm 1831, J. Bolyai đã công bố công trình của mình dưới dạng phụ lục ở mỗi cuốn sách của bố mình. Phụ lục trình bày học thuyết tuyệt đối đúng về không gian”. F. Bolyai đã viết thư cho.Can Friedrick Gauss (1777 - 1855), đề nghị Gauss cho nhận xét về công trình nghiên cứu của J. Bolyai.


Trong thư trả lời, Gauss đã nói rằng ông không thể ngợi khen công trình đó, vì như thế tức là tự khen mình: Ông nói rằng tư tưởng của J. Bolyai trong phụ lục chính là tư tưởng của ông trong nhiều năm trước đây. Sau,đó, Gauss đã viết thư cho Goling với ý cho rằng nhà toán học trẻ tuổi J. Bolyai là một thiên tài.


Phải nói rằng lời đánh giá trên đây của nhà toán học lỗi lạc Gauss là hoàn toàn chân thực. Thật vậy, từ năm 1824, trong thư gửi cho người bạn là Tolinos, Gauss đã viết: “Tổng ba góc trong một tam giác phẳng phải nhỏ hơn 1800 giả định này sẽ dẫn đến những đặc thù khác hoàn toàn với hình học của chúng ta. Tôi phát triển nó và thu được những kết quả hoàn toàn khiến ta hài lòng. Và bức thư nổi tiếng mà Gauss đã gửi Flants Adonf Taurinus cũng chứng tỏ rằng, Gauss đã nắm được các ý niệm quan trọng của Hình học phi Euclide. Nhưng đó mới chỉ là những đoạn rời rạc, những phát kiến mặc dù đã rất sâu sắc. Tuy nhiên, lúc bấy giờ Gauss đã không công bố những kết quả nghiên cứu này của mình.


Thư trả lời của Gauss đã làm cho J. Bolyai có những hiểu lầm lớn. J. Bolyai nghĩ rằng Gauss, đã dùng uy danh của mình để cướp đi quyền phát minh về hệ thống hình học mới của ông. Vì thế, J. Bolyai rất đau lòng và đã thề rằng sẽ vứt bỏ mọi nghiên cứu toán học. Tháng 10 - 1848, J. Bollai đã được bố mình gửi cho luận văn : “Nghiên cứu về lí thuyết các đường song song” của N. I. Lobachevski, xuất bản bằng tiếng Đức năm 1840. J. Bolyai đã ngạc nhiên, vì thấy rằng N. I. Lobachevski cũng đã đi đến những kết quả giống như mình và J. Bolyai cũng rất khâm phục tài năng của N. I. Lobachevski.

Cùng thời với J. Bolyai, ở Cadan (Thủ đô của nước cộng hòa tự trị Tacta thuộc Liên Bang Nga), đã xuất hiện một ngôi sao sáng, đó là nhà toán học thiên tài Nicolai Ivanovich Lobachevski (1792 - 1856). N. I. Lobachevski đã từng là giáo sư xuất xắc, Hiệu trưởng của Trường Đại học Tổng hợp Cadan. Ông đã tìm cách chứng minh rằng, từ các định đề và tiên đề khác của Hình học Euclide cổ điển, không thể suy ra Định đề 5.

Để chứng minh điều đó, ông đã giữ nguyên các định đề và tiên đề khác của Hình học Euclide cổ điển và thay thế Định đề 5 bằng một tiên đề phủ định của tiên đề Euclide, và do đó cũng là phủ định của Định đề 5. Ngày nay, tiên đề này được gọi là tiên đề Lobachevski. Tiên đề này có nội dung như sau : “Trong mặt phẳng, qua một điểm không nằm trên một đường thẳng cho trước, có ít nhất hai đường thẳng không cắt đường thẳng đã cho”. Rồi từ đó, Lobachevski đã xây dựng nên một hình học mới không có mâu thuẫn. Những kết quả của hình học mới này “trái mắt”, trái với trực quan hàng ngày của chúng ta, trái với hình học Euclide quen thuộc.


Ngày 11 - 2 - 1826, Lobachevski đã công bố kết quả của mình về Hình học phi Euclide trên diễn đàn Vật lí - Số học của Trường Đại học Tổng hợp Cadan. Sau đó, công trình nghiên cứu về Hình học phi Euclide của Lobachevski với tiêu đề “Về các cơ sở Hình học”, đã được đăng ở tờ báo “Thông báo Cadan” năm 1829. Còn công trình của J. Bolyai về Hình học phi Euclide được công bố vào năm 1831 (độc lập với Lobachevski). Ngày nay, chúng ta gọi Hình học phi Euclide (do Lobachevski và J. Bolyai đã độc lập với nhau và đồng thời tìm ra) là Hình học Lobachevski hoặc Hình học Lobachevski - Bolyai. Ngày 11 - 2 - 1826 được thế giới gọi là ngày ra đời của hình học này.

Trong thời đại của Lobachevski, hầu như không ai hiểu được tư tưởng của ông, nhiều người đã chế nhạo ông. Nhưng Lobachevski đã dũng cảm và tin tưởng phát triển hình học mới của mình. Ông đã kiên trì nghiên cứu và công bố công trình nghiên cứu của mình ngày càng chi tiết hơn, đầy đủ hơn. Một năm trước khi qua đời, Lobachevski đã bị mù. Khi đó ông còn đọc cho học trò của mình chép một công trình sáng tạo mới mang tên “Hình học phẳng”, trong đó ông đã chỉ rõ Hình học Euclide chỉ là trường hợp giới hạn của Hình học phi Euclide của ông. Lobachevski đã gửi công trình cuối cùng này cho Trường Đại học Tổng hợp Cadan - nơi cả cuộc đời sáng tạo của ông đã trôi qua ở đó.

Ngày 24 - 2 - 1856, Lobachevski đã qua đời, vài chục năm sau người ta mới công nhận toàn bộ những tư tưởng của ông.


Công trình nghiên cứu của Lobachevski và J. Bolyai về Hình học phi Euclide là một thành tựu vĩ đại của khoa học, đã mở ra một kỉ nguyên mới cửa Toán học, của Vật lí và của nhiều ngành khoa học khác có liên quan.


Vào năm 1882, nhà toán học H. J. Poincare đã xây dựng được một mô hình (gọi là mô hình Poincare) của Hình học Lobachevski phẳng, khi sử dụng các “vật liệu” lấy từ Hình học Euclide phẳng.

Trong mặt phẳng Euclide, lấy một đường thẳng x nằm ngang, chia mặt phẳng thành hai miền, mà ta gọi là “nửa trên” và “nửa dưới”. Ta có các quy ước sau đây về các khái niệm cơ bản của Hình học Lobachevski phẳng : “Điểm” là điểm Euclide thông thường thuộc “nửa trên” và không thuộc x; “Đường thẳng” là nửa đường tròn thông thường thuộc “nửa trên” và có tâm thuộc x, hoặc là tia thông thường thuộc nửa trên, có gốc thuộc x và vuông góc với x.

Tiếp tục, trong mô hình này, xác định rõ ý nghĩa của các khái niệm cơ bản khác, mà cụ thể là các tương quan cơ bản sau đây: “thuộc”, “ở giữa”, “bằng nhau” (còn gọi là “toàn đẳng”), trong đó “thuộc” và “ở giữa” được hiểu như thông thường.
Người ta đã kiểm nghiệm tất cả các tiên đề của Hình học Lobachevski đổi với mô hình nêu trên, và thấy rằng mô hình đã thỏa mãn tất cả các tiên đề đó.

Thêm vào những điều ở trên, ta có định lí sau đây của Hình học Lobachevski: “Tổng ba góc trong của một tam giác thỏ hơn hai góc vuông”.
Việc xây dựng thành công mô hình của Hình học Lobachevski đã chứng minh:
a) Hình học Lobachevski là phi mâu thuẫn.
b) Từ các tiên đề khác của Hình học Euclide không thể suy ra được tiên đề Euclide.
Hình học Lobachevski không phải là Hình học phi Euclid duy nhất. Hình học Riemann theo nghĩa hẹp của Georg Friedrich Berhard Rienmann (1826 - 1866) người Đức cũng là Hình học phi Euclid. Để có được hệ tiên đề của Hình học Riemann nghĩa hẹp, phải thay đổi hệ tiên đề của Hình học Euclide nhiều hơn là những thay đổi mà Lobachevski đã thực hiện.
Ngoài các hình học vừa nêu, còn nhiều hình học khác, trong đó có Hình học fractal. Thuật ngữ fractal do nhà toán học Benoit Mandtelbrot người Pháp, gốc Ba Lan, đề nghị từ những năm 1970. Tuy mới ra đời nhưng hình học này đã phát triển nhanh chóng, gắn liền với đồ họa vi tính, có nhiều ứng dụng trong phân tích vá tổng hợp hình, trong việc xây dựng mô hình của các quá trình địa lí, quá trình sinh học

Theo Các câu chuyện Toán học

Triết học của Toán ứng dụng

Tôi nói với một vị khách trong một bữa tiệc gần đây là tôi dùng toán học để tìm hiểu bệnh đau đầu Migraine. Cô ta nghĩ rằng tôi yêu cầu những người bị đau đầu làm vài bài tính toán để giảm đau. Tất nhiên, điều tôi thực sự làm là dùng toán học để tìm hiểu những nguyên nhân sinh học của căn bệnh đó.

Công việc của tôi khả thi vì một sự thật bất ngờ mà chúng ta hay bỏ qua: có thể hiểu thế giới bằng toán học. Hiểu lầm của vị khách nhắc chúng ta rằng sự thật này không phải dễ thấy. Trong bài báo này tôi muốn thảo luận một câu hỏi lớn: “tại sao toán học có thể được dùng để mô tả thế giới?”, suy rộng ra, “tại sao toán ứng dụng là khả thi?” Để làm điều đó, chúng ta cần nhìn lại lịch sử lâu dài của triết học về toán - cái tôi tạm gọi là siêu toán (metamaths).

Toán ứng dụng là gì?

Trước khi đi vào chi tiết, ta cần định rõ thế nào là toán ứng dụng. Tôi sẽ mượn một định nghĩa của một nhà toán học ứng dụng lớn của thế kỉ 20 và 21, Tim Pedley, GI Taylor Professor về Cơ học chất lưu tại Đại học Cambridge. Trong phát biểu của ông cho Viện Toán và Ứng dụng năm 2004, ông nói “Ứng dụng toán là dùng những kỹ thuật toán để tìm câu trả lời cho những câu hỏi bên ngoài ngành toán”. Định nghĩa này khá rộng - gồm mọi việc từ đổi tiền đến biến đổi khí hậu - và tính khả thi của một định nghĩa rộng như vậy là một phần của điều bí ẩn mà chúng ta đang thảo luận.

Câu hỏi tại sao toán học lại ứng dụng được có lẽ quan trọng hơn bất kỳ câu hỏi nào bạn có thể hỏi về bản chất của Toán học. Trước hết, vì toán ứng dụng là toán, nó đưa đến tất cả những vấn đề y như truyền thống của Siêu Hình Toán. Thêm nữa, khi được sử dụng, nó dẫn đến những câu hỏi về triết học của khoa học. Tôi cho rằng vấn đề của chúng ta là câu hỏi lớn cho triết học của khoa học và toán học. Dù sao đi nữa, chúng ta hãy xem qua lịch sử của Siêu Hình Toán: những quan niệm nào đã được đưa ra về toán học, bản chất và công dụng của nó?

Siêu toán học

Lịch sử lâu dài của toán học nói chung không phân biệt rạch ròi toán ứng dụng và toán thuần túy. Mặc dù trong thời kỳ của toán học hiện đại, tức hai thế kỷ gần đây, có một sự tập trung gần như toàn bộ cho triết học về toán thuần túy. Nói riêng, mối quan tâm đã được đặt ra cho cái gọi là cơ sở của toán học- điều gì làm cho một mệnh đề toán học là đúng? Các nhà toán học quan tâm đến các cơ sở nói chung chia thành bốn nhóm.

Các nhà hình thức (formalist), như David Hillbert, coi toán học như được dựng trên tổng hợp của lý thuyết tập hợp và logic, và trong chừng mực nào đó coi việc làm toán hầu như biến đổi các ký hiệu toán dựa trên những luật cho trước.

Các nhà logic (logicist) coi toán học như một sự mở rộng của logic. Các nhà logic bậc thầy Bertrand Russell và Alfred North Whitehead từng dùng hàng trăm trang giấy để chứng minh logic rằng một cộng một bằng hai.

Các nhà trực giác được đại diện bởi LEJ Brouwer, một người được tả là “ông sẽ không bao giờ tin trời có mưa hay không cho đến khi ông nhìn ra ngoài cửa sổ” (theo Donald Knuth). Câu nói này đặc trưng cho một trong những ý tưởng cốt lõi của các nhà trực giác, sự khước từ luật triệt tam. Luật này nói rằng một mệnh đề (như “trời đang mưa”) là hoặc đúng hoặc sai, dù cho ta không biết chính xác. Ngược lại, các nhà trực giác tin rằng trừ khi bạn đã chứng minh xong mệnh đề hay đã đưa ra phản ví dụ, mệnh đề đó không có giá trị chân lý (không đúng cũng không sai).

Hơn thế nữa, các nhà trực giác đặt ra một giới hạn gắt gao cho những ý tưởng mà họ chấp nhận về cái vô hạn. Họ tin rằng toán học hoàn toàn là sản phẩm của trí óc con người, cái họ cho là chỉ có thể hiểu cái vô hạn trong một sự suy rộng của quá trình đếm số một-hai-ba-vân vân. Kết quả là, họ chỉ cho phép những phép toán đánh số được xuất hiện trong chứng minh, tức là những phép toán có thể được định bằng các số tự nhiên.

Cuối cùng, các nhà Platon học (Platonist), những người xưa nhất trong bốn nhóm, tin rằng có một thực tại dành cho sự tồn tại của các con số và đối tượng toán học. Với một nhà platon như Kurt Godel, toán học tồn tại không cần trí óc con người, có thể là không cần cả vũ trụ vật chất, nhưng có một kết nối bí ẩn giữa thế giới tinh thần của con người và thực tại của toán học.

Có một sự tranh cãi về việc cái nào trong bốn ý trên - nếu có một - là nền tảng cho toán học. Có vẻ như những đàm luận cao siêu đó không có liên quan gì đến tính ứng dụng, nhưng có ý cho rằng tính bất định về nền tảng gây ảnh hưởng đến việc thực hành toán ứng dụng. Trong “Sự biến mất của tính chắc chắn” (The loss of certainty), Morris Kline viết vào năm 1980 rằng “Những rối ren và tranh cãi về nền tảng của toán học cũng làm nản lòng những ai ứng dụng các phương pháp toán vào nhiều lĩnh vực trong nền văn hóa của chúng ta như triết học, khoa học chính trị, đạo đức và mỹ học […] Thời đại của lý lẽ đã qua rồi.” May thay, toán học đang bắt đầu được ứng dụng cho những lĩnh vực trên, nhưng chúng ta học được một bài học lịch sử quan trọng: việc lựa chọn những ứng dụng của toán học có mối liên hệ  có tính xã hội học với các vấn đề Siêu Hình Toán.

Tính ứng dụng cho thấy gì về nền tảng của toán?

Bước hợp lý tiếp theo cho nhà siêu hình toán nào muốn nghĩa về khả năng ứng dụng của toán là hỏi xem mỗi cái trong bốn cách nhìn về nền tảng cho thấy gì về câu hỏi lớn của chúng ta. Những thảo luận theo hướng này đã được viết bởi nhiều nhà toán học và khoa học, như Roger Penrose trong quyển “Đường đến thực tại” (The road to reality), hay Paul Davies trong “Ý Chúa” (The mind of god).

Tôi muốn đi hướng khác bằng cách lật ngược lại bước trên: Tôi muốn hỏi “tính khả dụng của toán cho thấy gì về nền tảng của toán học?” Bằng cách hỏi câu hỏi này tôi có lợi là không có bất đồng nghiêm trọng nào về việc toán học có dùng được không: công trình đồ sộ của khoa học và công nghệ hiện đại, phụ thuộc lớn vào tính toán học của tự nhiên, là bằng chứng.

Vậy một nhà hình thức nói gì về tính khả dụng của toán học? Nếu toán học thật sự chẳng là gì ngoài trò chơi với các ký hiệu toán, thì làm sao nó mô tả thế giới? Trò chơi toán thì có ý nghĩa gì hơn những trò chơi khác? Nhớ rằng, nhà hình thức phải trả lời từ quan điểm hình thức, nên không thể cầu cứu tới những ý tưởng Platonic về ý nghĩa sâu xa của toán hay mối liên kết ngầm với thế giới vật lý. Với những lí do tương tự, các nhà logic cũng bị loại, vì nếu họ nói “có lẽ vũ trụ là một biểu hiện của logic”, thì họ đã ngầm giả thiết có một thực tại Platon cho logic để biểu hiện ra. Điều này biến chủ nghĩa logic thành một nhánh của chủ nghĩa Plato, cái mà ta sẽ thấy dẫn đến vấn đề nghiêm trọng của chính nó. Vậy với các nhà hình thức và các nhà logic phi-Plato, sự tồn tại của các ứng dụng toán học dẫn đến một vấn đề nghiêm trọng cho quan niệm của họ.

Chủ nghĩa hình thức và chủ nghĩa logic đều không được tin tưởng rộng rãi nữa, mặc cho định kiến là các nhà toán học là các nhà platon trong tuần và hình thức trong ngày cuối tuần. Ngoài khả năng sai do ứng dụng toán học, cả hai cách nhìn đều dẫn đến sai lầm về lý luận do những công trình của Godel, Thoralf Skolem và những người khác.

Nền tảng thứ ba được đề xuất, chủ nghĩa Trực giác, chưa bao giờ được ủng hộ. Cho đến nay, nếu có được xét đến thì nó thường được bàn với giọng càu nhàu của các nhà toán học. Việc giới hạn các công cụ chứng minh và ý tưởng quái dị về sự mù mờ, khi một mệnh đề không thể đúng hay sai cho đến khi nó được chứng minh hoàn toàn, làm cho cách nhìn này ít hấp dẫn với nhiều nhà toán học.

Dù vậy, ý tưởng cốt lõi về tính đánh số được trong những quá trình có vẻ được suy ra từ thực tế. Trong thế giới vật chất, ít ra là như loài người thấy, có vẻ chỉ chứa những thứ đếm được và cái vô hạn như ta có thể gặp là sự suy rộng của việc đếm. Bằng cách này, có lẽ chủ nghĩa trực giác được suy ra từ thực tế, từ thế giới vật chất rõ ràng vô hạn quá lắm đếm được. Có vẻ là chủ nghĩa trực giác cho một câu trả lời gọn gàng về câu hỏi của tính khả dụng của toán học: nó dùng được vì nó được suy ra từ thực tế.

Thế nhưng câu trả lời này có thể gặp rắc rối khi kiểm tra kĩ hơn. Ví dụ, vật lý toán hiện đại, gồm lý thuyết lượng tử, cần ý tưởng về vô hạn vượt cả tính đếm được. Những mặt này do đó nằm ngoài khả năng giải thích của toán học theo chủ nghĩa Trực giác.

Có một ý tưởng hiện đại có thể có lợi từ lý luận của các nhà Trực giác: cái gọi là vật lý kỹ thuật số (digital physics). Nó cho rằng vũ trụ giống như một máy tính khổng lồ. Các hạt cơ bản được mô tả bởi trạng thái lượng tử chúng nhận được ở một thời điểm cho trước, giống như một bit trong máy tính được định bởi giá trị 0 hay 1. Giống như máy tính, vũ trụ được dựng trên thông tin về các trạng thái và hoạt động của nó có thể trên lý thuyết được mô phỏng bởi một máy tính khổng lồ. Do đó có khẩu hiệu của vật lý kỹ thuật số, “It from bit”.

Thế giới vốn là toán học hay toán học là một thiết kế của ý nghĩ con người?

Nhưng cách nhìn này cũng không phải thuần Trực giác và có vẻ dùng một vài ý tưởng platon. Bit của lý thuyết thông tin có vẻ dẫn đến một sự tồn tại có tính platon của thông tin mà từ đó thế giới vật lý được tạo ra.

Nhưng cơ bản hơn, chủ nghĩa Trực giác không trả lời được tại sao toán học phi-Trực giác lại dùng được. Có thể một định lý toán phi Trực giác được áp dụng vào thế giới khi nào nó có một chứng minh Trực giác, nhưng chứng minh đó chưa được nghĩ ra. Hơn nữa, mặt dù toán học Trực giác có vẻ như được suy ra từ thế giới thực, không rõ là những vật thể của trí óc con người có diễn tả trung thực thế giới vật chất không. Những biểu diễn của trí óc đã được chọn lọc qua thời gian tiến hóa, không phải do tính trung thực, mà bởi lợi thế nó tạo ra cho cá thể trong cuộc đấu tranh sinh tồn và truyền giống.

Được tạo ra theo hình ảnh của toán học

Chủ nghĩa hình thức và chủ nghĩa logic không trả lời được câu hỏi của ta. Có lẽ chủ nghĩa Trực giác có thể trả lời, nhưng vẫn còn nhiều thách thức về khái niệm. Vậy chủ nghĩa Platon thì sao?

Các nhà Platon tin rằng thế giới vật chất là cái bóng bất toàn của các vật thể toán học (và có lẽ các ý niệm như chân lý hay cái đẹp). Thế giới vật chất phát triển, cách nào đó, từ thực tại platonic này, và bắt rễ từ đó, và như vậy các vật và mối liên hệ giữa các vật trong thế giới in bóng những cái trong thực tại platonic. Sự thật là thế giới được mô tả bởi toán học không còn là điều bí ẩn vì nó đã thành một tiên đề: thế giới bắt rễ trong một thực tại toán học.

Plato và Aristotle trong bức bích họa The school of Athens của Raphael.

Nhưng những vấn đề lớn hơn xuất hiện: tại sao thực tại vật chất phát triển và bắt rễ trong thực tại platonic? Tại sao thực tại tư tưởng phát sinh từ vật chất? Tại sao thực tại tư tưởng có liên hệ trực tiếp tới thực tại platonic? Và những câu hỏi trên khác gì với những thần loại cổ xưa về nguồn gốc của thế giới, từ những thân thể bị giết của các vị thần và các titan, từ Phật-tính của tự nhiên, hay ý tưởng Abrahamic rằng chúng ta được “tạo ra theo hình ảnh của Chúa”?

Tất nhiên, niềm tin rằng chúng ta sống trong một vũ trụ linh thiêng và tham gia vào việc tìm hiểu thiên ý bằng nghiên cứu toán học và khoa học có lẽ là động lực lâu đời nhất cho tư duy có lý trí, từ Pythagoras đến Newton và các nhà khoa học ngày nay. “Chúa”, theo nghĩa này, không phải là một đối tượng trong không- thời gian, không là tổng của mọi đối tượng trong thế giới vật chất, hay một nhân tố trong thế giới platonic. Mặt khác, Chúa là điều gì đó gần với tính toàn thể của thực tại platonic. Theo cách này, nhiều trong số những khó khăn đặt ra cho các nhà platon cũng giống với những khó khăn của các nhà thần học của Do Thái-Thiên Chúa Giáo- và có lẽ của các tôn giáo và bán-tôn giáo khác.

Galileo tin rằng “quyển sách của vũ trụ” được viết bằng “ngôn ngữ” của toán học- một mệnh đề platonic đòi hỏi một câu trả lời (nếu không là câu hỏi) nếu có. Ngay cả các nhà khoa học toán không tôn giáo ngày nay cũng hay nói về những cảm giác ngạc nhiên và thích thú khi khai phá cái giống như thực tại platonic- họ không phát minh toán học, họ tìm thấy nó. Paul Davies đi xa hơn trong Ý Chúa, và nhấn mạnh bản chất hai chiều của động lực này. Một nhà toán học không chỉ được thúc đẩy tìm hiểu toán học với hi vọng được hiểu ý Chúa (một đức Chúa phi ngã như của Spinoza hay Einstein), nhưng khả năng của chúng ta trong việc truy đến chiếc “chìa khóa của vũ trụ” này gợi ý một mục đích hay ý nghĩa cho sự tồn tại của chúng ta.

Galileo Galilei, người tin rằng thế giới được viết bởi ngôn ngữ toán học đang đối diện với Toàn án La Mã để tuyên bố trái đất quay quanh mặt trời. Vẽ bởi Cristiano Banti.

Thật ra, giả thuyết rằng cấu trúc toán học và bản chất vật lý của vũ trụ cùng khả năng của trí óc chúng ta để tìm hiểu cả hai cách nào đó là một phần của trí óc, sự hiện diện, hay thân thể của một đấng nào đó là một câu trả lời gọn hơn cho câu hỏi về nền tảng của toán học và tính khả dụng của nó hơn những câu trả lời đã nói. Một giả thuyết như vậy, dù ít khi được dẫn, được tìm thấy trong nhiều hệ thống tôn giáo, văn hóa và khoa học trong vài thiên niên kỷ qua. Thế nhưng, không phải tự nhiên mà một nhà triết học hay một nhà khoa học hoàn toàn theo cách nhìn này (dù họ có muốn như thế) vì nó ủng hộ việc giữ lấy những điều huyền bí thay vì đẩy lùi những ranh giới của cái chưa biết.

Roger Penrose diễn tả rõ ràng nhất điều này với một sơ đồ ba thế giới. Thế giới platonic, vật chất và tư tưởng được vẽ như những hình cầu xếp vào một tam giác. Một hình nón nối thế giới platonic với vật chất: trong dạng tổng quát nhất, sơ đồ cho thấy phần hẹp của hình nón chỉ vào thế giới platonic còn phần rộng chỉ vào thế giới vật chất. Điều này diễn tả (ít nhất một phần) thế giới vật chất được biểu hiện từ một ít của thế giới platonic. Một hình nón tương tự nối thế giới vật chất với thế giới tư tưởng: (ít nhất một phần) thế giới tư tưởng được nhúng vào thế giới vật chất. Cuối cùng, và kỳ lạ nhất, hình tam giác được hoàn thành bởi một hình nón từ thế giới tư tưởng vào thế giới platonic: (ít nhất một phần) thế giới platonic được nhùng vào thế giới tư tưởng. Mỗi hình nón, mỗi thế giới, là một điều chưa biết.

Mô hình ba thế giới của Penrose

Chúng ta dường như đã đến bế tắc khi mà bốn ý tưởng về nền tảng của toán học không thể giải đáp câu hỏi về ứng dụng của toán học. Nhưng tôi muốn bạn đọc xong bài viết này với cảm nghĩ rằng đó là một tin cực tốt! Việc gọt giũa những khía cạnh của câu hỏi lớn – tại sao toán ứng dụng tồn tại?- là một dự án tương lai có thể tạo ra hiểu biết sâu sắc về bản chất của toán học, của thế giới vật chất, và của vị trí của chúng ta trong cả hai hệ thống.

Dịch từ  bài The philosophy of applied mathematics của Phil Wilson, Đại học Canterbury, New Zealand bởi Võ Đức Huy.

Đại số và các loại đại số - Phần 3: Phương trình và mở rộng trường

51. Đại số là lí thuyết của các phương trình! Giải phương trình có nghĩa là gì?
Xét những bài toán sau đây:

1. Tuổi của A gấp đôi tuổi của B. Hồi 10 năm trước thì tuổi của A gấp bốn lần tuổi của B. Hỏi hiện nay họ bao nhiêu tuổi?
2. Tiền của A nhiều gấp đôi tiền của B. Sau khi mỗi người xài 10 rupee, A nhận thấy tiền của anh gấp bốn lần tiền của B. Hỏi ban đầu mỗi người có bao nhiêu tiền?
3. A đi xa gấp đôi B. Nếu mỗi người đi ít lại 10 dặm, thì A đi xa gấp bốn lần B. Hỏi mỗi người đã đi bao xa?

Hàm Zeta Riemann (Hàm zeta)

6. Hàm Zeta Riemann (Hàm zeta)
Định nghĩa:

$\displaystyle \zeta(s) \,=\, \sum_{n=1}^{\infty}\,\frac{1}{n^s}\,\,\, \,\, \text{Re}(s)>1$

Hàm Zeta Riemann không chỉ nổi  tiếng vì nó liên quan đến các chuyên ngành khác nhau của toán học mà còn do Giả thuyết Riemann đến nay vẫn còn là lời thách đố.

Ta sẽ chỉ ra mối liên hệ giữa hàm Zeta Riemann và một số hàm đặc biệt đã giới thiệu trong các phần trước.
Sau đó sẽ đi vào các biểu diễn tích phân liên quan đến nó, chứng tính giải tích cũng như các tính chất sâu hơn của nó được bỏ qua.

Bộ sách về các câu chuyện Toán học

Bộ Sách Các câu chuyện Toán học của nhóm tác giả Đỗ Mạnh Tùng, Nguyễn Bá Đô, Nguyễn Văn Túc, Hồ Châu.

Bộ sách gồm 6 tập:

Tất nhiên trong ngẫu nhiên. DOWNLOAD Updating

Cái đã biết trong cái chưa biết. DOWNLOAD Updating

Khẳng định trong phủ định. DOWNLOAD

Câu chuyện hấp dẫn về bài toán Fetma - Bản dịch Tiếng Việt

MỤC LỤC:

Lời giới thiệu

Lời người dịch

Lời giới thiệu của nhà xuất bản

Lời nói đầu của tác giả Cambridge, Anh, tháng 6/1993 Pierre de Fermat

Các số nguyên tố

Một dòng ghi chú nổi tiếng trên lề sách