Đề thi chọn Đội tuyển thi Học sinh giỏi quốc gia Việt Nam - Phần 2

1. Đề thi chọn Đội tuyển thi Học sinh giỏi quốc gia Tp. Đà Nẵng năm học 2014 - 2015

VÒNG 1 (11/9/2014)
Bài 1 (5đ)
Tìm công thức tính số hạng tổng quát của dãy số $(x_n)$ biết $x_1=\dfrac{2013}{2014}$ và :

$$x_{n+1}=\dfrac{1}{4+2011x_n}$$

Chứng minh dãy số $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó
Bài 2 (5đ)

Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{Z}\to\mathbb{R}$ sao cho $f(0)\neq 0$,$f(1)=6$ và
$$f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y) \forall x,y\in \mathbb{Z}$$

Bài 3 (5đ)

Cho hai đường tròn $(C_1)$ và $(C_2)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt C,D sao cho tâm O của $(C_2)$ nằm trên $(C_1)$. Gọi A là điểm trên $(C_1)$ và B là điểm nằm trên $(C_2)$ sao cho đường thẳng AC tiếp xúc với $(C_2)$ tại C và đường thẳng BC tiếp xúc với $(C_1)$ tại C. Đường thẳng AB cắt lại $(C_2)$ tại E và cắt $(C_1)$ tại F. Gọi G là giao điểm thứ hai của đường thẳng CE và $(C_1)$. Hai đường thẳng CF và GD cắt nhau tại H. Chứng minh rằng giao điểm của GO và EH là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF

Bài 4 (5đ)

Tại một hội nghị quốc tế, các thành viên tham dự đều biết ít nhất một trong ba thứ tiếng: Anh, Pháp, Đức. Biết rằng số thành viên biết Tiếng Anh, số thành viên biết Tiếng Pháp và số thành viên biết Tiếng Đức cùng bằng 50. Chứng minh rằng có thể chia tất cả các thành viên tham dự hội nghị thành 5 nhóm sao cho trong mỗi nhóm có đúng 10 thành viên biết tiếng Anh, đúng 10 thành viên biết tiếng Pháp và đúng 10 thành viên biết tiếng Đức.

VÒNG 2 (12/9/2014)
Bài 5 (7đ)

Cho tam giác ABC nhọn không cân có O là tâm ngoại tiếp. Gọi P là một điểm nằm trong tam giác sao cho AP vuông góc với BC. Đường trung trực của đoạn AP cắt AC tại M. Đường trung trực của đoạn thẳng MC cắt BC tại N, các đường thẳng AO và MN cắt nhau tại K. Gọi D là điểm đối xứng của O qua BC
a) Chứng minh rằng đường thẳng AD đi qua trung điểm Q của đoạn thẳng PK.
b) Gọi E và F lần lượt là hình chiếu vuông góc của P lên CA và AB. Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn thẳng EF đi qua Q.
c) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC. Đường trung trực của đoạn thẳng EF cắt đường thẳng AI tại T. Chứng minh KT vuông góc BC

Bài 6 (7đ)
Với mỗi số nguyên dương n, gọi $f(n)$ là số cách thay các dấu $"\pm "$ trong biểu thức $\pm 1\pm 2\pm 3...\pm n$ bởi các dấu $"+"$ hoặc $"-"$ sao cho tổng đại số nhận được bằng 0. Chứng minh rằng:
a) $f(n)=0$ khi $n\equiv 1 (\mathrm{mod} 4)$ hoặc $n\equiv 2 (\mathrm{mod} 4)$
b)$2^{\frac{n}{2}-1}\leq f(n)<2^n-2^{\left [ \frac{n}{2} \right ]+1}$ khi $n\equiv 0 (\mathrm{mod} 4)$ hoặc $n\equiv 3 (\mathrm{mod} 4)$

Bài 7 (6đ)

Các ô vuông của một bảng vuông kích thước $10x10$ được tô bởi các màu trắng hoặc đen sao cho trên mỗi hàng cũng như trên mỗi cột đều có đúng 3 ô được tô màu. Chứng minh rằng trong mọi cách tô như vậy ta luôn có thể tìm ra 10 ô được tô màu đen sao cho không có hai ô nào nằm trên cùng một hàng hay trên cùng một hàng cột.

2. Đề thi chọn Đội tuyển thi Học sinh giỏi quốc gia tỉnh Quảng Trị năm học 2014 - 2015
VÒNG 1
Câu 1: (4 điểm) Chứng minh rằng từ 3 số nguyên lẻ đôi một phân biết, ta luôn có thể chọn ra hai số, gọi là $a$ và $b$, sao cho $a^3b-ab^3$ chia hết cho $40$.

Câu 2: (4 điểm) Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh một tam giác. Xét các số thực $x,y,z$ thỏa mãn
$$\left\{\begin{matrix}cy+bz=a\\az+cx=b \\bx+ay=c \end{matrix}\right.$$
Chứng minh rằng $$x+y+z\le \frac{3}{2}$$

Câu 3 (4 điểm) Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$ và đường thẳng $l$ không cắt $(O)$ ($AB$ vuông góc với $l$ và $B$ gần với $l$ hơn so với $A$). Trên $(O)$ lấy điểm $C$ khác với $A$ và $B$, gọi $D$ là giao điểm của đường thẳng $AC$ và $l$. Vẽ tiếp tuyến $DE$ của $(O)$ (E là tiếp điểm và nằm cùng phía với $B$ đối với đường thẳng $AC$), đường thẳng $BE$ cắt $l$ tại $F$, đường thẳng $AF$ cắt $(O)$ tại $G\neq A$. Chứng minh $D$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $EFG$.

Câu 4: (4 điểm ) Tìm tất cả các hàm số $f:(0;+\infty)\to (0;+\infty)$ sao cho $$\frac{f(x)+f(y)}{\sqrt{f(xy)}}=\frac{x+y}{\sqrt{xy}}\forall x,y\in (0;+\infty).$$
Câu 5 (4 điểm) Có bao nhiêu số tự nhiên có $10$ chữ số từ tập $\{0,1,...,6\}$ sao cho chữ số đầu tiên bên trái bằng $1$ và hai chữ số kề nhau bất kì hơn kém nhau 1 đơn vị?

VÒNG 2
Câu 1: (4 điểm) Giải hệ phương trình
$$\left\{\begin{matrix}\sqrt{x^2+\dfrac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\dfrac{1}{y^2}}=2\sqrt{5}\\(x+y)(\dfrac{1}{xy}+1)= 3\sqrt{2}\end{matrix}\right.$$

Câu 2: (4 điểm) Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi $a_1=\frac{1}{2},$ và $$a_{n+1}=\frac{(n+1)a_n^2}{n(a_n+1)},\; \forall n\ge 1.$$
Chứng minh dãy số $(a_n)$ có giới hạn và tính giới hạn đó.

Câu 3: (4 điểm) Chứng minh bất đẳng thức sau
$$3(x^2-x+1)(y^2-y+1)\ge 2(x^2y^2-xy+1)\; \forall x,y \in \mathbb{R}$$
Dấu "=" xảy ra khi nào?

Câu 4 (4 điểm) Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân. Gọi $H$ là trực tâm tam giác, $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,AC$. Đường tròn $(M,MH)$ cắt cạnh $AB$ tại $M_1,M_2$, đường tròn $(N,NH)$ cắt cạnh $AC$ tại $N_1,N_2$. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $BN_1N_2,CM_1M_2$ cắt nhau tại $P,Q$. Chứng minh rằng ba điểm $A,P,Q$ cùng nằm trên một đường thẳng và đường thẳng này đi qua trung điểm $BC$.

Câu 5 (4 điểm) Ban đầu trên bảng điện tử hiển thị hai số phân biệt $a$ và $b$. Sau mỗi giây, bảng sẽ tự động hiển thị thêm các số $n$ nếu nó chưa có trên bảng và $n$ là tổng của hai số nào đó đã có trên bản. Hãy xác định xem $2014$ có được hiển thị trên bảng hay không, nếu có thì sau thời gian ít nhất bao lâu (kể từ thời điểm ban đầu), trong các trường hợp sau
a) $a=3,b=12.$
b) $a=1,b=2.$

3. Đề thi chọn đội tuyển tỉnh Hà Tĩnh năm học 2014 - 2015
VÒNG 1
Câu 1: Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} 3x^3+2x^2=y\\ 3y^3+2y^2=z\\ 3z^3+2z^2=x \end{matrix}\right.$

Câu 2: Cho dãy số $(x_n)$ được xác định bởi:
$x_1=\frac{1}{2}; x_{n+1}=\dfrac{2014+x_n}{2016-x_n}$ với mọi $n=1,2,...$.
a. Chứng minh rằng dãy $(x_n)$ có giới hạn và tính giới hạn đó.
b. Với mỗi số tự nhiên $n \ge 1,$ đặt $y_n=\dfrac{1}{2013n+2015} \sum\limits_{k=1}^{n} \dfrac{1}{x_k-2014}.$ Tính $\lim\limits_{n\to\infty} y_n$.

Câu 3: Cho 2 đường tròn $(C_1)$ và $(C_2)$ tiếp xúc ngoài nhau tại $M$. Tiếp tuyến chung ngoài $AB$, ($A$ thuộc $(C_1)$, $B$ thuộc $(C_2)$). Trên tia $Mx$ là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn ( $Mx$ không cắt $AB$) lấy điểm $C$ khác $M$. Gọi $E,F$ lần lượt là giao điểm thứ 2 của $CA$ với $(C_1)$, $CB$ với $(C_2)$. Chứng minh rằng tiếp tuyến của $(C_1)$ tại $E$, tiếp tuyến của $(C_2)$ tại $F$ và $Mx$ đồng quy.

Câu 4: Cho số nguyên dương $n\ge 2.$ Chứng minh rằng $m=2n^2-1$ là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho tồn tại $n$ số nguyên dương $a_1, a_2,...,a_n$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
i) $a_1 < a_2 < \ldots < a_n=m$; ii) Tất cả $n-1$ số $\dfrac{a_1^2+a_2^2}{2}, \dfrac{a_2^2+a_3^2}{2},\ldots,\dfrac{a_{n-1}^2+a_n^2}{2}$ đều là các số chính phương. VÒNG 2
Câu 1: Cho phương trình $x^3+2x^2+3x+4=0$ và $x^3-8x^2+23x-26=0$. Chứng minh mỗi phương trình trên đều có đúng một nghiệm. Tìm tổng hai nghiệm đó.

Câu 2:

Câu 3:

Câu 4:

4. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Thái Bình năm học 2014 - 2015

Ngày 1 (03/10/2014) :

Câu 1 :

1) Giải hệ phương trình trên tập số thực :

$$\left\{\begin{matrix} x+y-\sqrt{xy}=\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}\\ 2014^{x+y-1}-3x+y+1=\sqrt{4x^2-3x-y+2} \end{matrix}\right.$$

2) Tìm tất cả các hàm số $f \, : \, \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện :

$$f(x^2+f(y))=y+((f(x))^2\,\,\,\forall x,y\in \mathbb{R}$$

Câu 2 : Cho dãy số $(x_n)$ được xác định như sau :

$x_1=1,x_2=2013,x_{n+2}=4026x_{n+1}-x_n\,\,\,\, , n=1,2,...$

Chứng minh rằng $\frac{x_{2014}+1}{2014}$ là số chính phương.

Câu 3 :

Cho tam giác $ABC$ ($AB<AC$), và $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác đó. Trên cạnh AC lấy D sao cho $\widehat{ABD}=\widehat{ACB}$, đường thẳng AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $IDC$ tại $E$. Qua $E$ kẻ đường thẳng song song với $AB$ cắt $BD$ tại $P$. Gọi $F$ là điểm đối xứng của $A$ qua $I$, $J$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABD$. Đường thẳng $JP$ cắt $CF$ tại $Q$.

Chứng minh rằng $QF=QJ$.

Câu 4 :

Với mỗi số nguyên dương $n$, đặt $S_{n}=\{1;2;...;n\}$. Phần tử $j$ của $S_n$ được gọi là điểm bất động của song ánh $p \, : \, S_n\to S_n$ nếu $p(j)=j$. Gọi $f(n)$ là số song ánh từ $S_{n}$ đến $S_{n}$ mà không có điểm bất động nào, $g(n)$ là số song ánh từ $S_{n}$ đến $S_{n}$ mà có đúng 1 điểm bất động. Chứng minh rằng : $$|f(n)-g(n)|=1\,\,\,\forall n\in\mathbb{N}^{*}$$

Ngày 2 (04/10/2014) :

Câu 5 :

1) Chứng minh rằng với mọi $a;b;c>0$ ta có $$\frac{a(b+c)}{(b+c)^2+a^2}+\frac{b(a+c)}{(a+c)^2+b^2}+\frac{c(a+b)}{(a+b)^2+c^2}\leq \frac{6}{5}$$

2) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n\geq 3$, phương trình sau $$x^ne^{-x}=1\,\, , \,\,n\in\mathbb{N},n>2$$ Có 1 nghiệm duy nhất $x_{n}$ trên đoạn $[0;n]$. Tìm $\text{lim} \, x_n$.

Câu 6 :

Cho $p$ là 1 số nguyên tố lẻ, đặt $m=\frac{9^{p}-1}{8}$. Chứng minh rằng $m$ là 1 hợp số lẻ không chia hết cho 3 và $3^{m-1}\equiv 1\pmod{m}$

Câu 7 :

Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$. Gọi $AD$ là đường cao đỉnh $A$. Gọi $(k_1)$ là đường tròn qua $B,D$ và tiếp xúc với $AB$ ở $B$,$(k_2)$ là đường tròn qua $C,D$ và tiếp xúc với $AC$ ở $C$. Giả sử $(k_1)$ cắt $(k_2)$ tại $M$. $MD$ giao $(O)$ tại $T$.$G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Chứng minh rằng

1) $ATCB$ là hình thang cân.

2) $G,M,D$ thẳng hàng.

Câu 8 :

Cho một khối lập phương $10×10× 10$ gồm $1000$ ô vuông đơn vị màu trắng. An và Bình chơi một trò chơi. Bình thì chọn một số dải $1× 1× 10$ sao cho với hai dải bất kì thì không có chung đỉnh hoặc cạnh và đổi tất cả các ô sang màu đen. An thì được chọn một ô bất kì và hỏi Bình là màu gì. Hỏi An phải chọn ít nhất bao nhiêu ô để với mọi câu trả lời của Bình luôn xác định được những ô nào màu đen.

4. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Kiên Giang năm học 2014 - 2015

Ngày 1
Câu 1: Giải phương trình sau trên tập số thực:
$$x+2\sqrt{5-x}=2\sqrt{x+2}+\sqrt{10+3x-x^2}-2.$$
Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ, trên parabol $y=\frac{1}{2}x^2$ lấy dãy các điểm $(A_n)$ và $(B_n)$ sao cho điểm $A_1$ có hoành độ dương và với mọi số nguyên dương n, đường thẳng $A_nB_n$ có hệ số góc bằng $-\frac{1}{4}$ và đường thẳng $B_nA_{n+1}$ có hệ số góc bằng $\frac{1}{5}$. Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu $a_b$ và $b_n$ tương ứng là hoành độ của $A_n$ và $B_n$. Chứng minh rằng các dãy số $(a_n)$ và $(b_n)$ là các cấp số cộng. Hãy xác định công sai và số hạng tổng quát của mỗi cấp số cộng đó.

Câu 3: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại $A$ và $B$; $AB=2a, AD=2BC$. Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh $SC=a\sqrt{5}$, với $H$ la trung điểm cạnh AB. Tính $d(D,(SCH))$.

Câu 4: Giải phương trình:
$$\sin^4x+\cos^4x+\frac{2}{\sin^4x}+\frac{2}{\cos^4x}=16+\frac{\sin2x}{2}$$

Ngày 2:
Câu 5: Cho $a,b$ và $c$ là các số thực dương. Tìm GTNN của biểu thức:
$$P=\frac{a+3c}{a+2b+c}+\frac{4b}{a+b+2c}-\frac{8c}{a+b+3c}.$$

Câu 6: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $C$ có góc $A$ < góc $B$, $O$ và $I$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC và đặt $a=BC,b=AC,c=AB$.
Chứng minh rằng nếu tam giác $BIO$ vuông thì $\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}$.

Câu 7: Cho $2014$ sô thực $x_1,x_2,...,x_{2014}$ thỏa $\left | \sum_{i=1}^{2014}x_i \right |>1$ và $\left | x_i \right | \le 1$ $(i=1,2,...,2014)$.
Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên dương $k$ sao cho $\left | \sum_{i=1}^{k}x_i -\sum_{i=k+1}^{2014}x_i\right |\le 1$.

Đang cập nhật...