Đề thi học sinh giỏi quốc gia môn Toán năm 2015 (VMO 2015). Kì thi diễn ra trong hia ngày 8 và 9 tháng 1 năm 2015.
Ngày thi thứ nhất.
Câu 1. Cho a là một số thục không âm và (un) là dãy số xác định bởi u1=3,un+1=12un+n24n2+a√u2n+3 với mọi n≥1.
a) Với a=0, chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
b) Với mọi a∈[0,1], chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn.
Câu 2. Cho a,b,c là các số thực không âm. Chứng minh rằng 3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)(√ab+√bc+√ca)+(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2≥(a+b+c)2.
Câu 3. Cho số nguyên dương K. Tìm số tự nhiên n không vượt quá 10K thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
i) n chia hết cho 3
ii) các chữ số trong biểu diễn thập phân của n thuộc tập hợp {2,0,1,5}.
Câu 4. Cho dường tròn (O) và hai điểm B,C cố định trên (O), BC không là đường kính. Một điểm A thay đổi trên (O) sao cho tam giác ABC nhọn. Gọi E,F lần lượt là chân đường cao kẻ từ B,C của tam giác ABC. Cho (I) là đường tròn thay đổi đi qua E,F và có tâm là I.
a) Giả sử (I) tiếp xúc với BC tại điểm D. Chứng ming rằng DBBC=√cotBcotC.
b) Giả sử (I) cắt cạnh BC tại hai điểm M,N. Gọi H là trực tâm tam giác ABC và P,Q là các giao điểm của (I) với đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC. Đường tròn (K) đi qua P,Q và tiếp xúc với (O) tại điểm T (T cùng phía A đối với PQ). Chứng minh rằng đường phân giác trong của góc ^MTN đi qua một điểm cố định.
Ngày thi thứ hai. Ngày 9/1/2015.

Câu 1. Cho a là một số thục không âm và (un) là dãy số xác định bởi u1=3,un+1=12un+n24n2+a√u2n+3 với mọi n≥1.
a) Với a=0, chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
b) Với mọi a∈[0,1], chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn.
Câu 2. Cho a,b,c là các số thực không âm. Chứng minh rằng 3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)(√ab+√bc+√ca)+(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2≥(a+b+c)2.
Câu 3. Cho số nguyên dương K. Tìm số tự nhiên n không vượt quá 10K thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
i) n chia hết cho 3
ii) các chữ số trong biểu diễn thập phân của n thuộc tập hợp {2,0,1,5}.
Câu 4. Cho dường tròn (O) và hai điểm B,C cố định trên (O), BC không là đường kính. Một điểm A thay đổi trên (O) sao cho tam giác ABC nhọn. Gọi E,F lần lượt là chân đường cao kẻ từ B,C của tam giác ABC. Cho (I) là đường tròn thay đổi đi qua E,F và có tâm là I.
a) Giả sử (I) tiếp xúc với BC tại điểm D. Chứng ming rằng DBBC=√cotBcotC.
b) Giả sử (I) cắt cạnh BC tại hai điểm M,N. Gọi H là trực tâm tam giác ABC và P,Q là các giao điểm của (I) với đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC. Đường tròn (K) đi qua P,Q và tiếp xúc với (O) tại điểm T (T cùng phía A đối với PQ). Chứng minh rằng đường phân giác trong của góc ^MTN đi qua một điểm cố định.
Ngày thi thứ hai. Ngày 9/1/2015.

Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét