67) Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh An Giang năm học 2013 - 2014. Download.
66) Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Đồng Nai năm học 2013 - 2014. Download.
65) Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Bắc Giang năm học 2013 - 2014. Download.
64) Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Quảng Bình năm học 2013 - 2014. Download.
63) Đề thi vào lớp 10 môn Toán chuyên Trần Phú, Hải Phòng năm học 2013 - 2014.
Bài 1: Cho A=(√x√x−2−x−3x+2√x+4−7√x+10x√x−8):(√x+7x+2√x+4).
Tìm x sao cho A<2.
b) Tìm m để pt : x2−(2m+4)x+3m+2=0 có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 thoả mãn x2=2x1+3.
Bài 2:
a) Giải pt : √5x−1−√3x+13=x−73.
Bài 3:
Cho 2 điểm A,B cố định . Một điểm C khác B di chuyển trên (O) đường kính AB sao cho AC>BC . Tiếp tuyến tại C của (O) cắt tiếp tuyến tại A ở D , cắt AB ở E . Hạ AH vuông góc CD tại H.
a) Chứng mình : AD.CE=CH.DE.
b) Chứng minh OD.BC là 1 hằng số.
c) Giả sử đường thẳng đi qua E vuông góc AB cắt AC,BD lần lượt tại F,G . Gọi I là trung điểm AE. Chứng minh trực tâm IFG là điểm cố định.
Bài 4:
a) Chứng minh x≥y≥1 thì x+1x≥y+1y.
b) Cho 1≤a,b,c≤2 . Chứng minh (a+b+c)(1a+1b+1c)≤10.
Bài 5:
a) Cho a,b là 2 số nguyên dương thoả mãn a+20;b+13 cùng chia hết 21 . Tìm số dư của phép chia A=4a+9b+a+b cho 21.
b) Có thể phủ kín bảng 20x13 ô vuông bằng các miếng lát có một trong hai dạng dưới ( có thể xoay và sử dụng đồng thời cả hai dạng miếng lát ) sao cho các miếng lát không chòm lên nhau không?
62) Đề thi vào lớp 10 môn Toán thành phố Hải Phòng năm học 2013 - 2014. Download.
61) Đề thi vào lớp 10 môn Toán không chuyên Hải Dương năm học 2013 - 2014. Download.
60) Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Bình Định năm học 2013 - 2014. Download.
59) Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Bắc Ninh (chuyên+không chuyên) năm học 2013 - 2014. Download.
58) Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Quảng Ninh năm học 2013 - 2014. Download.
57) Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Đăk Nông năm học 2013 - 2014.
56) Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Bình Phước năm học 2013 - 2014. Download.
55) Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Hà Tĩnh năm học 2013 - 2014.
54) Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Bình Dương năm học 2013 - 2014. Download.
53) Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Ninh Thuận năm học 2013 - 2014. Download.
52) Đề thi vào lớp 10 môn Toán chuyên Trần Hưng Đạo, Bình Thuận năm học 2013 - 2014. Download.
51) Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu năm học 2013 - 2014.
50) Đề thi vào lớp 10 tỉnh Nam Định môn Toán năm học 2013 - 2014. Download.
49) Đề thi vào lớp 10 tỉnh Lạng Sơn môn Toán năm học 2013 - 2014. Download.
48) Đề thi vào lớp 10 tỉnh Long An môn Toán năm học 2013 - 2014. Download.
47) Đề thi vào lớp 10 tỉnh Đồng Tháp môn Toán năm học 2013 - 2014. Download.
46) Đề thi vào lớp 10 chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An môn Toán năm học 2013 - 2014.
Câu 1
a. Giải phương trình (√2x+3+2)(√x+6−√x+1)=5.
b. Giải hệ phương trình {x3y+2y=3y3(3x−2)=1
Câu 2
Cho hai số nguyên x,y. Chứng minh rằng (x−y)(x−2y)(x−3y)(x−4y)+y4+2 không thể là một số chính phương.
Câu 3
Cho các số thực a,b,c thoả mãn a≥0,b≥0, c≥1 và a+b+c=2.
Tìm GTLN của T=(6−a2−b2−c2)(2−abc).
Câu 4
Cho đường tròn (O) đường kính BC. Trên tia đối của tia BC lấy điểm A khác B. Kẻ các tiếp tuyến AD,AE của (O) (D,E là các tiếp điểm). Kẻ DH vuông góc với EC tại H. Gọi K là trung điểm của DH, I là giao điểm của AC và DE. CK cắt (O) tại Q khác C, AQ cắt (O) tại M khác Q. Chứng minh rằng
a. AB.CI=AC.BI
b. QD vuông góc với QI
c. DM song song với OC.
Câu 5
Trong mặt phẳng cho 7 điểm (không có 3 điểm nào thẳng hàng). Gọi h là độ dài lớn nhất trong các đoạn thẳng nối 2 trong 7 điểm đã cho. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 1 tam giác có các đỉnh là 3 trong số 7 điểm đã cho thoả mãn diện tích nhỏ hơn h2(4π−3√3)24.
45) Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán Nguyễn Du, tỉnh Dak Lak năm học 2013 - 2014. Download.
44) Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán Nguyễn Tất Thành, tỉnh Yên Bái năm học 2013 - 2014.
Câu 1. (1,5 điểm)
Cho biểu thức P=(3√aa+√ab+b−3aa√a−b√b+1√a−√b):(a+1)(√a−√b)a+√ab+b
a) Tìm điều kiện của a,b để P có nghĩa rồi rút gọn P.
b) Tìm các giá trị nguyên của a để Q=P(3a+5) nhận giá trị nguyên.
Câu 2. (3,0 điểm)
1. Giải hệ phương trình {x2+y2+xy−3y=42x−3y+xy=3
2. Cho phương trình x2−mx+1=0 (1) (với m là tham số).
a) Xác định các giá trị của m để hai nghiệm x1,x2 (nếu có) của phương trình (1) thỏa mãn đẳng thức
x1−2x2=1
b) Xác định các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt đều lớn hơn −2.Câu 3. (3,5 điểm)
Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB, lấy M là điểm tùy ý thuộc nửa đường tròn (M không trùng với A và B).
Kẻ đường cao MH của tam giác MAB. Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của H trên MA và MB.
a) Chứng minh tứ giác ABFE nội tiếp được một đường tròn.
b) Kéo dài EF cắt cung MA tại P. Chứng minh MP2=MF.MB, từ đó suy ra tam giác MPH cân.
c) Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn (O) để tứ giác MEHF có diện tích lớn nhất.
Tìm diện tích của tứ giác đó theo R.
Câu 4. (1,0 điểm)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
2x2+3y2+4x−19=0
Câu 5. (1,0 điểm)
Cho ba số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện 1x+1y−2z=0.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T=x+z2x−z+z+y2y−z.
43) Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán Lê Khiết tỉnh Quảng Ngãi năm học 2013 - 2014.
Bài 1: (1,5d)
1. Rút gọn biểu thức A=√x2−√xx+√x+1+x2+√xx−√x+1+x2+1 với x≥0.
2. Chứng minh khi giá trị của m thay đổi thì các đường thẳng (m−1)x+(2m+1)y=4m+5 luôn đi qua một điểm cố định. Tìm điểm cố định đó.
Bài 2: (1,5d)
1. Tìm số chính phương có 4 chữ số, biết rằng khi giảm mỗi chữ số một đơn vị thì số mới được tạo thành cũng là một số chính phương có 4 chữ số.
2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2+xy+y2=3x+y−1.
Bài 3:(2,5d)
1. Tìm các giá trị của m để phương trình x2+(m+2)x−m+1=0 có 2 nghiệm x1,x2 thỏa mãn hệ thức |1x1−1x2|=310.
2. Giải hệ phương trình (x+1)√x=2√y ; (y+1)√y=2√x
3. Giải phương trình 3(x2−6)=8(√x3−1−3).
Bài 4: (3,5đ)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB<AC) nội tiếp dường tròn (O;R). Tiếp tuyến tại A của (O) cắt đường thẳng BC tại M. Kẻ đường cao AH của tam giác ABC.
1. Chứng minh rằng BC=2R.sin^BAC.
2. Điểm N chuyển động trên BC ( N khác B và C). Gọi E,F lần lượt là hình chiếu của N lên AB,ẠC. Xác định vị trí của N để độ dài EF ngắn nhất.
3. Đặt BC=a,AC=b,AB=c. Tính MA theo a,b,c.
4. Các tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt đường thẳng MA lần lượt tại P và Q. Chứng minh rằng HA là tia phân giác của góc PHQ.
Bài 5: (1đ)
Trong tam giác đều có cạnh bằng 8 đặt 193 điểm phân biệt. Chứng minh tồn tại 2 điểm trong 193 điểm đã cho có khoảng cách không vượt quá √33.
42) Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Quảng Ngãi năm học 2013 - 2014. Download.
41) Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Hà nam năm học 2013 - 2014. Download.
40) Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Lào Cai năm học 2013 - 2014. Download.
39) Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán Quốc Học Huế năm học 2013 - 2014.
Bài 1: (1.5đ) Giải hệ phương trình {√x+√y+1√y=3(x+1)√y=2√x.
Bài 2: (1.5đ) Cho phương trình x4+(1−m)x2+2m−2=0 (m là tham số)
1.Tìm các giá trị của m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
2.Trong trường hợp pt có 4 nghiệm phân biệt là x1,x2,x3,x4, hãy tìm các giá trị của m sao cho
x1x2x32x4+x1x2x42x3+x1x3x42x2+x2x3x42x1=2013.
Bài 3: (1.5đ)
1. Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x+y+z+√xyz=4. Tính giá trị của biểu thức
T=√x(4−y)(4−z)+√y(4−z)(4−x)+√z(4−x)(4−y)−√xyz.
2. Cho số tự nhiên có 2 chữ số. Khi chia số đó cho tổng các chữ số của nó được thương là q dư r. Nếu đổi chỗ 2 chữ số của số đó cho tổng các chữ số của nó được thương 4q dư r. Tìm số đã cho.
Bài 4: (3 điểm)
1. Cho đường tròn (O) đường kính BC. Lấy điểm A trên đg tròn sao cho AB>AC (A khác C). Vẽ hình vuông ABDE (D và E cùng nằm trên nửa mp bờ AB không chứa C). Gọi F là giao điểm thứ 2 của AD với đường tròn và K là giao điểm của CF với DE. Chứng minh KB là tiếp tuyến của đường tròn (O).
2. Cho tam giác ABC có BC=a,CA=b,AB=c. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Đường thẳng vuông góc với CI tại I cắt CA,CB theo thứ tự tại M,N. Chứng minh:
a) AM.BN=IM2=IN2.
b) IA2bc+IB2ac+IC2ab=1.
Bài 5: (2 điểm)
1. Cho 2 số dương a và b thỏa mãn điều kiện a+b≤2. Chứng minh (a+1)6b5+(b+1)6a5≥128.
2. Tìm số tự nhiên có 3 chữ số n=100a+10b+c sao cho biểu thức na+b+c đạy giá trị nhỏ nhất.
38) Đáp án Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Thừa Thiên Huế năm học 2013 - 2014.
37) Đáp án Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Đắc Lắk năm học 2013 - 2014. Download.
36) Đề thi vào lớp 10 môn Toán THPT chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa năm học 2013 - 2014
Câu 1: Cho biểu thức P=(2√x+√x√x+2):2√xx+2√x.
1. Rút gọn P.
2. Tìm giá trị của x để P=3.
Câu 2: Cho hệ phương trình {x+my=3mmx−y=m2−2
1. Giải hệ với m=3.
2. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x2−x−y>0.
Câu 3: Giải phương trình (x−1x+2)2−4(x2−1x2−4)+3(x+1x−2)2=0.
Câu 4: Cho 3 điểm A,B,C phân biệt thẳng hàng và theo thứ tự đó sao cho AB≠BC . Trong cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC dựng các hình vuông ABDE và BCFK. Gọi I là trung điểm của EF, đường thẳng qua I vuông góc với EF cắt các đường thẳng BD và AB lần lượt tại M và N. CMR:
1. Các tứ giác AEIN và EMDI nội tiếp,
2. Ba điểm A,I,D thẳng hàng và B,N,E,M,F cùng thuộc 1 đường tròn.
3. AK,EF,CD đồng quy,
Câu 5: Cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=9. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
S=y3x2+xy+y2+z3y2+yz+z2+x3z2+zx+x2.
35) Đề thi vào 10 chuyên toán tin chuyên lam sơn Thanh Hóa
Bài 1 (2,0 điểm): Tính giá trị biểu thức: P=1+2x1+√1+2x+1−2x1−√1−2x với x=√34.
Bài 2 (2,0 điểm):
1. Cho phương trình :mx2−(m+3)x+2m+1=0 với m là tham số. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn hệ thức (2+x1−x2)(2−x1+x2)=0.
2. Giải phương trình:x2+25x2(x+5)2=11.
Bài 3 (2,0điểm): Chứng minh rằng nếu m là số nguyên và a là nghiệm nguyên của phương trình: x4−4x3+(3+m)x2−x+m=0 thì a là 1 số chẵn.
Bài 4 (3,0 điểm): Cho 3 điểm A,B,C thẳng hàng thêo thứ tự đó thỏa mãn điều kiện AB<AC. Trong nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AC đựng các nửa đường tròn đường kính AC,AB,BC có tâm lần lượt làO,O1,O2. Đường thẳng qua B vuông góc với AC cắt nửa đường tròn đường kính AC tại D. Các điểm E,F phân biệt lần lượt nằm trên các nửa đường tròn đường kính AB và BC sao cho đường thẳng EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn đó. Chứng minh rằng:
1. Tứ giác AEFC nội tiếp được trong 1 đường tròn.
2. OD vuông góc với EF.
Bài 5(1,0 điểm): Cho các số thực dương x,y thỏa mãn:5x2+4y2+3z2+2xyz=60. Tìm GTLN của biểu thức P=x+y+z.
34) Đáp án Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Nghệ An năm học 2013 - 2014. Download.
33) Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán Lê Quý Đôn, Đà Nẵng năm học 2013 - 2014.
Bài 1. (2,5 điểm)
a/ Tìm các nghiệm của phương trình 2x2+4x+3a=0(1), biết rằng phương trình (1) có một nghiệm là số đối của một nghiệm nào đó của phương trình 2x2−4x−3a=0
b/ Cho hệ thức x2+(x2+2)y+6x+9=0 với x, y là các số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của y.
Bài 2. (2,5 điểm)
a/ Giải hệ phương trình {(x4+1)(y4+1)=4xy3√x−1−√y−1=1−x3
b/ Tìm các số nguyên x, y sao cho 2x−2√y+2=2√2x+1−y
Bài 3. (3,5 điểm)
Cho đoạn thẳng BC có M là trung điểm . Gọi H là một điểm của đoạn thẳng BM (H khác các điểm B và M). Trên đường thẳng vuông góc với BC tại H lấy điểm A sao cho ^BAH=^MAC. Đường tròn tâm A bán kính AB cắt đoạn thẳng BC tại điểm thứ hai ở D và cắt đoạn thẳng AC tại E. Gọi P là giao điểm của AM và EB.
a/ Đặt AB = r, tính tích DH.AM theo r.
b/ Gọi h1,h2,h3 lần lượt là khoảng cách từ điểm P đến các đường thẳng BC, Ca, AB. Chứng minh rằng h2AB+h3AC<1−2h1BC
c/ Gọi Q là giao điểm thứ hai của hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác APE và BPM. Chứng minh rằng tứ giác BCEQ là tứ giác nội tiếp.
Bài 4. (1,5 điểm)
Cho một tháp số (gồm 20 ô vuông giống nhau) như hình vẽ. Mỗi ô vuông được ghi một số nguyên dương n với 1≤n≤20, hai ô vuông bất kỳ không được ghi cùng một số. Ta quy định trong tháp số này 2 ô vuông kề nhau là 2 ô vuông có chung cạnh. Hỏi có thể có cách ghi nào thỏa mãn điều kiện: Chọn 1 ô vuông bất kỳ (khác với các ô vuông được đặt tên a, b, c, d, e, f, g, h như hình vẽ) thì tổng của số được ghi trong ô đó và các số được ghi trong 3 ô vuông kề với nó chia hết cho 4 ?
32) Đề thi + Đáp án vào lớp 10 môn Toán tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2013 - 2014. Download.
31) Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán Lê Quý Đôn, tỉnh Khánh Hòa năm học 2013 - 2014.
30) Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán Lê Hồng Phong, Trần Đại Nghĩa..Thành phố Hồ Chí MInh năm học 2013 - 2014.
Câu 1.
a) Giải phương trình: x√2x−2+5x=9.
b) Cho ba số thực x,y,z đôi một khác nhau thỏa mãn điều kiện 1x+1y+1z=0. Tính giá trị biểu thức: A=yzx2+2yz+zxy2+2zx+xyz2+2xy
Câu 2.
Cho phương trình: x2−5mx+4m=0(1).
a) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để biểu thức A=m2x21+5mx2+12m+x22+5mx1+12mm2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 3.
Cho ΔABC có BC là cạnh dài nhất. Trên cạnh BC lấy các điểm D,E sao cho BD=BA, CE=CA. Đường thẳng qua D và song song AB cắt AC tại M. Đường thẳng qua E và song song AC cắt AB tại N. Chứng minh AM=AN.
Câu 4.
Cho x,y là hai số dương thỏa mãn x+y=1.
Chứng minh rằng: 3(3x−2)2+8xy≥7.
Câu 5.
Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ các tiếp tuyến AB,AC và cát tuyến AEF đến đường tròn (EF không qua O và B,C là các tiếp điểm). Gọi D là điểm đối xứng của B qua O. DE,DF cắt AO theo thứ tự ở M và N. Chứng minh:
a) ΔCEF∼ΔDNM.
b) OM=ON.
Câu 6.
Chữ số hàng đơn vị trong hệ thập phân của số M=a2+ab+b2;a,b∈N∗ là 0.
a) Chứng minh rằng M chia hết cho 20.
b) Tìm chữ số hàng chục của M.
29) Đề thi vào lớp 10 môn Toán Thành phố Đà Nẵng năm học 2013 - 2014.
28) Đề thi vào lớp 10 môn Toán Thành phố Hồ Chí Minh năm học 2013 - 2014. Download.
27) Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Khánh Hòa năm học 2013 - 2014. Download.
26) Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Lâm Đồng năm học 2013 - 2014 (toán chung+chuyên). Download.
25) Đề thi vào lớp 10 môn Toán chuyên Thái Bình năm học 2013 - 2014.
24) Đề thi vào lớp 10 môn Toán chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai năm học 2013 - 2014 (Toán chung). Toán chuyên xem số 11.
Bài 1.
a) Giải phương trình: x4+x2−12=0 (với x∈R)
b) Giải hệ phương trình: {2x−3y=−57x+11y=−23.
Bài 2. Cho biểu thức P=√a2(√a+2√a−1+√a−2√a−1)√a2−2a+1 (với a∈R và a≥2).
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Chứng minh rằng nếu a là số thực và a≥2 thì P≥4.
Bài 3. Cho phương trình x2+2x−2m=0 (với x là ẩn số, m là tham số thực)
a) Tìm các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
b) Cho m là số thực dương. Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho, biết x1>x2. Tính U=1x1−1x2 theo m.
Bài 4. Cho các hàm số y=2x2 có đồ thị là (P);y=kx=−2 có đồ thị là d (với k là tham số thực).
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số đã cho).
b) Tìm k để điểm M(xM;yM) thuộc cả hai đồ thị (P) và d đã cho, biết yM=2 và xM>0.
Bài 5. Nếu cho hai vòi nước cùng chảy vào một bể (chưa có nước) trong thời gian 1 giờ 12 phút thì đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 20 phút và vòi thứ hai chảy trong 45 phút thì chỉ được 512 bể.
Khi mở riêng từng vòi. Tính thời gian để mỗi vòi khi chảy riêng đầy bể.
Bài 6. Cho đường tròn (O) tâm O đường kính AB=2R. Lấy điểm C thuộc đường tròn (O), với C≢A,B. Lấy điểm D thuộc cung nhỏ BC của đường tròn (O), với D≢B,C. Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm B cắt các đường thẳng AC,AD theo thứ tự tại các điểm M,N.
a) Chứng minh tứ giác CDNM là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh AD.AN=AC.AM=4R2.
c) Vẽ đường kính CE của nửa đường tròn (O). Vẽ đường kính CF của đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDNM. Chứng minh ba điểm D,E,F thẳng hàng.
23) Đề thi vào lớp 10 môn Toán chuyên Lương Văn Tụy, Ninh Bình năm học 2013 - 2014 (Toán chuyên).
22) Đề thi vào lớp 10 môn Toán chuyên toán Bà Rịa Vũng Tàu năm học 2013 - 2014.
21) Đề thi vào lớp 10 môn Toán chuyên toán Hà Nội - Amsterdam, chuyên Nguyễn Huệ Hà Nội năm học 2013 - 2014.
Bài 1:
1) Tìm các số tự nhiên n để 72013+3n có chữ số hàng đơn vị là 8.
2) Cho a,b là các số tự nhiên lớn hơn 2 và p là số tự nhiên thỏa mãn 1p=1a2+1b2. Chứng minh p là hợp số.
Bài 2:
1) Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn
x2−3y2+2xy−2x+6y−8=0.
2) Giải hệ phương trình
{2x2+xy+3y2−2y−4=03x2+5y2+4x−12=0
Bài 3: Cho a,b là các số thực thỏa mãn a+b+4ab=4a2+4b2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A=20(a3+b3)−6(a2+b2)+2013.
Bài 4: Cho tam giác ABC không phải là tam giác cân. Đường tròn (O) tiếp xúc vói BC,AC,AB lần lượt tại M,N,P. Đường thẳng NP cắt BO,CO lần lượt tại E và F.
1) Chứng minh rằng ^OEN và ^OCA bằng nhau hoặc bù nhau.
2) Bốn điểm B,C,E,F thuộc 1 đường tròn.
3) Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp OEF. Chứng minh O,M,K thẳng hàng.
Bài 5: Trong mặt phẳng cho 6 điểm A1,A2,...,A6 trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng và trong 3 điểm luôn có 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn 671 .Chứng minh rằng trong 6 điểm đã cho luôn tồn tại 3 điểm là 3 đỉnh của 1 tam giác có chu vi nhỏ hơn 2013.
20) Đề thi vào lớp 10 môn Toán chuyên toán Ninh Bình năm học 2013 - 2014 (Toán chung).
19) Đề thi vào lớp 10 môn Toán chuyên Lê Quý Đôn Bình Định năm học 2013 - 2014. Download
18) Đề thi vào lớp 10 môn Toán chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương năm học 2013 - 2014.
Bài 1: (2 điểm)
1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a2(b−2c)+b2(c−a)+2c2(a−b)+abc.
2) Cho x,y thỏa
x=3√y−√y2+1+3√y+√y2+1.
Tính giá trị biểu thức sau
A=x4+x3y+3x2+xy−2y2+1.
Bài 2: (2 điểm)
1) Giải phương trình:
(x2−4x+11)(x4−8x2+21)=35.
2) Giải hệ phương trình sau
{(x+√x2+2012)(y+√y2+2012)=2012x2+z2−4(y+z)+8=0
Bài 3: (2 điểm)
1) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n2+n+1 không chia hết cho 9
2) Xét phương trình ẩn x: x2−m2x+2m+2=0(1). Tìm m nguyên dương để (1) có nghiệm nguyên.
Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB<AC ngoại tiếp đường tròn tâm O. Gọi D,E,F lần lượt là tiếp điểm của (O) với các cạnh AB,AC,BC. BO cắt EF tại I. M là điểm di chuyển trên đoạn CE.
1) Tính số đo góc BIF.
2) Gọi H là giao điểm của BM và EF. Chứng minh rằng nếu AM=AB thì tứ giác ABHI nội tiếp.
3) Gọi N là giao điểm của BM với cung nhỏ EF của đường tròn (O),P và Q lần lượt là hình chiếu của N trên các đường thẳng DE,DF. Xác định vị trí của M để độ dài đoạn PQ lớn nhất.
Bài 5: (1 điểm)
Cho ba số a,b,c thỏa mãn 0≤a≤b≤c≤1.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
B=(a+b+c+3)(1a+1+1b+1+1c+1).
17) Đề thi vào lớp 10 môn Toán thành phố Hà Nội năm học 2013 - 2014.
16) Đề thi tuyển sinh lớp 10 Trường Phổ thông Năng khiếu năm học 2013-2014 môn Toán (không chuyên). Toán chuyên xem số 1.
Bài 1: (2 điểm)
a/ Giải phương trình: √x+1=x−2
b/ Tìm chiều dài của một hình chữ nhật có chu vi là a (mét), diện tích là a (mét vuông) và đường chéo là 3√5 (mét)
Bài 2: (2 điểm)
Cho phương trình (√x−1)(x2−5x+m−1)=0(1)
a/ Giải phương trình (1) khi m=−1
b/ Tìm m để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt x1,x2,x3 thỏa
x1+x2+x3+x21+x22+x23+x1.x2+x2.x3+x3.x1=31
Bài 3: (2 điểm)
a/ Với 0<b<a, hãy rút gọn biểu thứcP=(1√1+a−√a−b+√a+2+b−√a−bb+1−1√1+a+√a−b):(1+√a+2+ba−b)
b/ Giải hệ phương trình{(x−y)2=1x−1yx−y=xy−2
Bài 4: (1 điểm)
Có hai vòi nước A,B cùng cung cấp nước cho một hồ cạn nước và vòi C (đặt sát đáy hồ) lấy nước từ hồ cung cấp cho hệ thống tưới cây. Đúng 6 giờ, hai vòi A và B được mở; đến 7 giờ vòi C được mở; đến 9 giờ thì đóng vòi B và C; đến 10 giờ 45 phút thì hồ đầy nước. Người ta thấy rằng nếu đóng vòi B ngay từ đầu thì phải đến 13 giờ hồ mới đầy. Biết lưu lượng vòi B là trung bình cộng của lưu lượng vòi A và vòi C, hỏi một mình vòi C tháo cạn hồ nước đầy trong bao lâu?
Bài 5: (3 điểm)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn đường kính AC, AC=2a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và AD.
a) Tính BC và CN theo a.
b) Gọi H là trực tâm của tam giác CMN, MH cắt CN tại E, MN cắt AC tại K. Chứng minh năm điểm B,M,K,E,C cùng thuộc đường tròn (T).
Đường tròn (T) cắt BD tại F(F≠B), tính DF theo a.
c) KF cắt ME tại I. Chứng minh KM tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác MIF. Tính góc IND.
15) Đề thi vào lớp 10 môn Toán chuyên Đại học Vinh năm học 2013 - 2014 (vòng 2).
Câu 1 (1,5 điểm). Giả sử n là số nguyên tố lớn hơn 2. Chứng minh rằng 2013n2+38 là số nguyên dương.
Câu 2 (1,5 điểm). Rút gọn biểu thức
A=3√2+√5+3√2−√5
Câu 3 (1,5 điểm). Giải hệ phương trình
{x2+y2+6xy=176y2−xy+x−5y−1=0
Câu 4 (1,5 điểm). Cho tam giác ABC có BC=a, CA=b, AB=c và ˆA≥ˆB≥ˆC.
Chứng minh rằng 9ab≥(a+b+c)2
Câu 5 (4,0 điểm). Cho tam giác ABC. Gọi H làg chân đường cao kẻ từ A, biết rằng H nằm trên đoạn thẳng BC và không trùng với B hoặc C. Đường thẳng AB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ACH tại D phân biệt với A. Đường thẳng AC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH tại E phân biệt với A.
a) Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và AC. Chứng minh rằng bốn điểm I,J,D,E cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh rằng HA là tia phân giác của ^EHD.
c) Xác định mối liên hệ giữa AB, AC và AH để DE tiếp xúc với cả hai đường tròn nói trên.
14) Đề thi vào lớp 10 môn Toán chuyên Đại học Vinh năm học 2013 - 2014 (vòng 1).
Câu 1 (2,0 điểm). Tìm hai số nguyên a và b sao cho
1a−1966+1b−2013=1.
Câu 2 (2,5 điểm). Cho phương trình x2−2mx+m(m+1)=0 (∗).
a) Tìm m để phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt.
b) Tìm m để phương trình (∗) có nghiệm bé là x1, nghiệm lớn là x2 thỏa mãn điều kiện x1+2x2=0.
Câu 3 (1,5 điểm). Giả sử x và y là các số dương có tổng bằng 1. Đặt S=xy+1xy.
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của S.
b) Biểu thức S có giá trị lớn nhất hay không? Vì sao?
Câu 4 (4,0 điểm). Cho tam giác ABC có AB=6, AC=8, BC=10. Gọi M, N, P tương ứng là chân đường cao, chân đường phân giác, chân đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A.
a) Chứng minh rằng, điểm N nằm giữa hai điểm M và P.
b) Tính diện tích các tam giác ABP, ABN và ABM.
13) Đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Phú Thọ năm học 2013-2014 (18/6/2013). Download.
12) Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Lê Quý Đôn, Quảng Trị năm học 2013-2014
Câu 1( 2.5 điểm )
1. Cho biểu thức P=3a+√9a−3a+√a−2−√a−2√a−1+1√a+2−1.
a ) Rút gọn P
b) Tìm a nguyên để biểu thức P nguyên.
2. Hãy tính A=2x3+2x2+1 với x=13(3√23+√5134+3√23−√5134−1)
Câu 2 (1.5 điểm)
Cho a,b,c là 3 số thực khác 0 thoã mãn a+b+2c=0.
Chứng minh rằng phương trình ax2+bx+c=0 có 2 nghiệm phân biệt và có ít nhất 1 nghiệm dương.
Câu 3 (1.5 điểm )
Giải phương trình x2−7x+2+2√3x+1=0.
Câu 4 (1.5 điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình x2−3y2+2xy−2x−10y+4=0.
Câu 5
1. Cho (O;R) với dây cung BC cố định (BC<2R) và điểm A trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn . Gọi H là trực tâm với A′,B′,C′ là các chân đường cao tương ứng.
a) CM OA vuông góc B′C′.
b) CM BA.BH=2R.BA′ . Từ đó suy ra tổng BA.BH+CA.CH không đổi.
2. Cho tam giác ABC nhọn ˆA=30∘ . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC và M,N lần lượt là các điểm trên 2 cạnh AB.AC . Tìm vị trí M,N để tam giác HMN có chu vi nhỏ nhất.
11) Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Lương Thế Vinh (Đồng Nai) năm học 2013-2014 (Toán chuyên)
Câu 1: (1,5 điểm)
1) Giải phương trình x4−x3−x−1=0
2) Cho x1,x2 là hai nghiệm của phương trình x2−x−1=0
Tính giá trị biểu thức (x1−x2)(x31−x32)
Câu 2 : (1,5 điểm)
1) Cho k là số thực lớn hơn 12. Chứng minh:
1(2k−1)√2k+1+(2k+1)√2k−1=12(1√2k−1−1√2k+1)
2) Rút gọn :
F=11√3+3√1+13√5+5√3+...+197√99+99√97
Câu 3: (2 điểm)
Giải hệ phương trình {1x+y=2x2+2y=3
Câu 4: (1 điểm)
Cho a,b,c,d là các số nguyên dương thỏa a2+b2−ab=c2+d2−cd
Chứng minh (a+b)2−(c+d)2=3(ab−cd) và chứng minh a+b+c+d là hợp số
Câu 5: (1 điểm)
Cho đa giác GHMNPQRSTUVW (đa giác nếu không nói gì thêm thì hiểu là đa giác lồi)
1) Tính số đường chéo của đa giác đã cho có điểm chung với đoạn GS
2) Tính số 10-giác (đa giác có 10 đỉnh) biết các đỉnh thuộc tập hợp {G,H,M,N,P,Q,R,S,T,U,V,W}
Câu 6: (3 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC. Tia phân giác góc CAB cắt BC tại D, phân giác góc ABC cắt AC tại E, phân giác góc ADB cắt BE tại K, phân giác góc ADC cắt BE tại L.
1) Chứng minh AKDL là tứ giác nội tiếp và tâm O của đường tròn này là trung điểm của đoạn KL
2) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC,J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AIC. Chứng minh B,I,J thẳng hàng.
10) Đề thi vào lớp 10 trung học THực Hành, ĐH Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh năm học 2013-2014.
Câu 1: Cho phương trình : x2−(2m−3)x+m2−2m+2=0 ( m là tham số )
1) Tìm m để phương trình có một nghiệm là -1. Tìm nghiệm còn lại.
2) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa :x21+x22+x1+x2=2.
Câu 2: Cho hàm số :y=−x22(P)vày=mx−4(D) với m≠0.
1) Khi m=1 , hãy vẽ (P) và (D) cùng trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Tìm tọa độ giao điểm của (D) và (P) bằng phép tính.
2) Tìm m để (P) , (D) và (D′) :y=x+12 đồng quy.
Câu 3: Cho biểu thức :
P=3x+5√x−11x+√x−2−√x−2√x−1+2√x+2−1 với x≥0vàx≠1.
1) Rút gọn P.
2) Tìm x để P nhận giá trị nguyên.
Câu 4: Giải hệ phương trình : {x2+4x+y=0(x+2)4+5y=16.
Câu 5: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC ) có đường cao AH . Vẽ đường tròn (O) đường kính AB cắt AC tại N. Gọi E là điểm đối xứng của H qua AC , EN cắt AB tại M và cặt (O) tại điểm thứ hai D .
1) Chứng minh AD = AE.
2) Chứng minh HA là phân giác của góc MHN.
3) Chứng minh:
a/ 5 điểm A , E , C , M , H thuôc đường tròn (O1).
b/ 3 đường thẳng CM , BN , AH đồng quy.
4) DH cắt (O1) tại điểm thứ hai Q. Gọi I , K lần lụợt là trung điểm của DQ và BC . Chứng tỏ I thuộc đường tròn (AHK).
9) Đề thi vào lớp 10 chuyên Thoại Ngọc Hầu, An Giang năm học 2013-2014 (Toán chung, ngày 15/6/2013). Download.
8) Đề thi vào lớp 10 chuyên Hà Tĩnh, Hà Tĩnh năm học 2013-2014
Câu 1. Cho biểu thức P=(8√x−3+2√x−1√x+3)(x√x+1√x+1+√x−10)
a. Tìm điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa và rút gọn P.
b. Tìm các giá trị của x để P=30.
Câu 2. Cho phương trình 3x2+2(m−1)x−(2m+1)=0 (m là tham số).
a. Giải phương trình khi m=−1.
b. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn (x1+1)(x2+1)=x21x2+x22x1+2.
Câu 3.
a. Giải phương trình √x−1+√4x+1=4.
b. Giải hệ phương trình {4xy2−2x2y=x−2y2x3−x−8y+3=0
Câu 4. Cho tam giác nhọn ABC có AB<AC và AH vuông góc với BC tại H. Gọi D,E lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên AB,AC. Đường thẳng DE cắt tia CB tại S.
a. Chứng minh rằng ADHE và BCED là các tứ giác nội tiếp được trong đường tròn.
b. Đường thẳng SA cắt đường tròn đường kính AH tại M (M khácA). Các đường thẳng BM và AC cắt nhau tại F. Chứng minh FA.FC+SB.SC=SF2.
Câu 5. Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng b2+c2−a2bc+c2+a2−b2ac+a2+b2−c2ab>2
7) Đề thi vào lớp 10 chuyên toán Lê Hồng Phong Nam Định năm học 2013-2014. Download.
6) Đề thi vào lớp 10 chuyên tỉnh Quảng Nam năm 2013-2014. Download.
5) Đề thi vào lớp 10 môn Toán chuyên Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội năm học 2013 - 2014 (vòng 2, ngày 9/6/2013)
Câu 1:
1) Giải hệ phương trình:
{x3+y3=1+y−x+xy7xy+y−x=7
2) Giải phương trình:
x+3=√1−x2+3√x+1+√1−x.
Câu 2:
1) Giải phương trình nghiệm nguyên ẩn x,y:
5x2+8y2=20412.
2) Với x,y là các số thực dương thỏa mãn x+y≤1, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P=(1x+1y)√1+x2y2.
Câu 3:
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm H. Gọi P là điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC sao cho P khác B, C, H và nằm trong tam giác ABC. PB cắt (O) tại M khác B, PC cắt (O) tại N khác C. BM cắt AC tại E, CN cắt AB tại F. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AME và đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF cắt nhau tại Q khác A.
1) Chứng minh M,N,Q thẳng hàng.
2) Giả dụ AP là phân giác ^MAN. Chứng minh PQ đi qua trung điểm của BC.
Giả dụ dãy số thực có thứ tự x1≤x2≤....≤x192 thỏa mãn điều kiện
{x1+x2+x3+...+xn=0|x1|+|x2|+...+|x192|=2013
Hãy chứng minh x192−x1≥201396.
4) Đề thi môn Toán vào lớp 10 chuyên Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội năm học 2013 - 2014 (vòng 1, ngày 8/6/2013)
Câu 1:
1) Giải phương trình
√3x+1+√2−x=3.
2) Giải hệ phương trình
{x+1x+y+1y=9214+32(x+1y)=xy+1xy.
Câu 2:
1) Giả dụ a,b,c là các số thực khác 0 thỏa mãn đẳng thức (a+b)(b+c)(c+a)=8abc. Chứng minh rằng:
ab+c+bc+a+ca+b=34+ab(a+b)(b+c)+bc(b+c)(c+a)+ca(c+a)(a+b).
2) Hỏi có bao nhiêu số nguyên dương có 5 chữ số ¯abcde sao cho ¯abc−(10d+e) chia hết cho 101?
Câu 3:
Cho △ABC nhọn nội tiếp (O) với AB<AC. Đường phân giác của ∠BAC cắt (O) tại D≠A. Gọi M là trung điểm của AD và E là điểm đối xứng với D qua O. Giả dụ (ABM) cắt AC tại F. Chứng minh rằng
1)△BDM∼△BCF
2)EF⊥AC.
Câu 4: Giả sử a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn abc+bcd+cad+bad=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của: P=4(a3+b3+c3)+9d3.
3) Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên ĐH Sư phạm Hà Nội năm học 2013 - 2014 (dành cho thí sinh chuyên Toán Tin)
Câu 1:
1) Giải phương trình
√3x+1+√2−x=3.
2) Giải hệ phương trình
{x+1x+y+1y=9214+32(x+1y)=xy+1xy.
Câu 2:
1) Giả dụ a,b,c là các số thực khác 0 thỏa mãn đẳng thức (a+b)(b+c)(c+a)=8abc. Chứng minh rằng:
ab+c+bc+a+ca+b=34+ab(a+b)(b+c)+bc(b+c)(c+a)+ca(c+a)(a+b).
2) Hỏi có bao nhiêu số nguyên dương có 5 chữ số ¯abcde sao cho ¯abc−(10d+e) chia hết cho 101?
Câu 3:
Cho △ABC nhọn nội tiếp (O) với AB<AC. Đường phân giác của ∠BAC cắt (O) tại D≠A. Gọi M là trung điểm của AD và E là điểm đối xứng với D qua O. Giả dụ (ABM) cắt AC tại F. Chứng minh rằng
1)△BDM∼△BCF
2)EF⊥AC.
Câu 4: Giả sử a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn abc+bcd+cad+bad=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của: P=4(a3+b3+c3)+9d3.
3) Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên ĐH Sư phạm Hà Nội năm học 2013 - 2014 (dành cho thí sinh chuyên Toán Tin)
Câu 1: (2,5 điểm)
1, Các số thực a,b,c đồng thời thỏa mãn 2 đẳng thức :
i) (a+b)(b+c)(c+a)=abc.
ii) (a3+b3)(b3+c3)(c3+a3)=a3b3c3.
2, Các số thực dương a,b thỏa mãn ab>2013a+2014b. Chứng minh bất đẳng thức:
a+b>(√2013+√2014)2
Câu 2: (2 điểm)
Tìm tất cả các cặp số hữu tỉ (a;b) thỏa mãn hệ phương trình:
{x3−2y3=x+4y6x2−19xy+15y2=1
Câu 3: (1 điểm)
Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu Sn là tổng n số nguyên tố đầu tiên. CHứng minh rằng tr0ng dãy số S1,S2,... không tồn tại 2 số chính phương liên tiếp.
Câu 4: (2,5 điểm)
Tam giác ABC không cân nội tiếp (O), BD là phân giác góc ABC. Đường thẳng BD cắt (O) tại điểm thứ 2 E. Đường tròn (O1) đường kính DE cắt (O) tại điểm thứ 2 F
1. Chứng minh đường thẳng đối xứng với đường thẳng BF qua đường thẳng BD đi qua trung điểm AC.
2. Biết tam giác ABC vuông tại B. ^BAC=60o và bán kính (O) bằng R, tính bán kính (O1) theo R.
Câu 5: (1 điểm)
Độ dài 3 cạnh tam giác ABC là 3 số nguyên tố, chứng minh điện tích tam giác ABC không phải là số nguyên.
Câu 6: (1 điểm)
a1,a2,..a11 là các số nguyên dương lớn hơn hay bằng 2, đôi một khác nhau và thỏa mãn a1+a2+..+a11=407. Tồn tại hay không số nguyên dương n sa0 cho tổng các số dư của các phép chia n cho 22 số a1,a2,...a11,4a1,...4a11 bằng 2012.
2) Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên ĐH Sư phạm Hà Nội năm học 2013 - 2014 (dành cho mọi thí sinh)
Câu 1: (2,5 điểm)
1. Cho biểu thức :
Q=(a−b√a+√b)3+2a√a+b√b3a3+3b√ab+√ab−aa√a−b√a.
Với a,b>0,a≠b. Chứng minh giá trị của Q không phụ thuộc vào a,b.
2. Các số thực a,b,c thỏa mãn a+b+c=0, chứng minh đẳng thức:
(a2+b2+c2)2=2(a4+b4+c4).
Câu 2: (2 điểm)
Cho Parabol (P) : y=x2 và đường thẳng (d) : y=−mx+12m2 (Tham số m≠0)
1. Chứng minh rằng với mỗi m≠0, (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
2. Gọi A(x1;y1),B(x2;y2) là 2 giao điểm đó, tìm giá trị nhỏ nhất của M=y21+y22.
Câu 3: (1,5 điểm)
Giả sử a,b,c là các số thực, a≠b sa0 ch0 2 phương trình x2+ax+1=0,x2+bx+c=0 có nghiệm chung và 2 phương trình x2+x+a=0,x2+cx+b=0 có nghiệm chung. Tính a+b+c.
Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC không cân, có 3 góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AA1,BB1,CC1 cắt nhau ở H, A1C1 cắt AC tại D. X là giao điểm thứ 2 của BD và (O).
1. Chứng minh DX.DB=DC1.DA1.
2. Gọi M là trung điểm AC, chứng minh DH⊥BM.
Câu 5: (1 điểm)
Các số thực x,y,z thỏa mãn:
{√x+2011+√y+2012+√z+2013=√y+2011+√z+2012+√x+2013√y+2011+√z+2012+√x+2013=√z+2011+√x+2012+√y+2013
Chứng minh rằng x=y=z.
1) Đề tuyển sinh vào lớp 10 Chuyên Toán Phổ thông năng khiếu, ĐH Quốc Gia TP. HCM năm học 2013 - 2014
Câu 1:
Cho phương trình: x2−4mx+m2−2m+1=0(1) với m là tham số.
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 phân biệt. Chứng minh rằng khi đó hai nghiệm không thể trái dấu nhau.
b) Tìm m sao cho |√x1−√x2|=1.
Câu 2:
Giải hệ phương trình: {3x2+2y+1=2z(x+2)3y2+2z+1=2x(y+2)3z2+2x+1=2y(z+2).
Câu 3:
Cho x,y là hai số không âm thỏa mãn x3+y3≤x−y.
a) Chứng minh rằng: y≤x≤1.
b) Chứng minh rằng: x3+y3≤x2+y2≤1.
Câu 4:
Cho M=a2+3a+1 với a là số nguyên dương.
a) Chứng minh rằng mọi ước của M đều là số lẻ.
b) Tìm a sao cho M chia hết cho 5. Với những giá trị nào của a thì M là lũy thừa của 5.
Câu 5:
Cho ΔABC có góc A=60o. Đường tròn (I) nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh BC,CA,AB lần lượt tại D,E,F. Đường thẳng ID cắt EF tại K, đường thẳng qua K song song BC cắt AB,AC lần lượt tại M,N.
a) Chứng minh rằng IFMK và IMAN là tứ giác nội tiếp.
b) Gọi J là trung điểm BC. Chứng minh A,K,J thẳng hàng.
c) Gọi r là bán kính đường tròn (I) và S là diện tích tứ giác IEAF. Tính S theo r và chứng minh SIMN≥S4.
Câu 6:
Trong một kì thi, 60 thí sinh phải giải 3 bài toán. Khi kết thúc kì thi, người ta nhận thấy rằng: với hai thí sinh bất kì luôn có ít nhất một bài toán mà cả hai thí sinh đó đều giải được. Chứng minh rằng:
a) Nếu có một bài toán mà mọi thí sinh đều không giải được thì phải có một bài toán khác mà mọi thí sinh đều giải được.
b) Có một bài toán mà có ít nhất 40 thí sinh giải được.
2) Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên ĐH Sư phạm Hà Nội năm học 2013 - 2014 (dành cho mọi thí sinh)
Câu 1: (2,5 điểm)
1. Cho biểu thức :
Q=(a−b√a+√b)3+2a√a+b√b3a3+3b√ab+√ab−aa√a−b√a.
Với a,b>0,a≠b. Chứng minh giá trị của Q không phụ thuộc vào a,b.
2. Các số thực a,b,c thỏa mãn a+b+c=0, chứng minh đẳng thức:
(a2+b2+c2)2=2(a4+b4+c4).
Câu 2: (2 điểm)
Cho Parabol (P) : y=x2 và đường thẳng (d) : y=−mx+12m2 (Tham số m≠0)
1. Chứng minh rằng với mỗi m≠0, (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
2. Gọi A(x1;y1),B(x2;y2) là 2 giao điểm đó, tìm giá trị nhỏ nhất của M=y21+y22.
Câu 3: (1,5 điểm)
Giả sử a,b,c là các số thực, a≠b sa0 ch0 2 phương trình x2+ax+1=0,x2+bx+c=0 có nghiệm chung và 2 phương trình x2+x+a=0,x2+cx+b=0 có nghiệm chung. Tính a+b+c.
Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC không cân, có 3 góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AA1,BB1,CC1 cắt nhau ở H, A1C1 cắt AC tại D. X là giao điểm thứ 2 của BD và (O).
1. Chứng minh DX.DB=DC1.DA1.
2. Gọi M là trung điểm AC, chứng minh DH⊥BM.
Câu 5: (1 điểm)
Các số thực x,y,z thỏa mãn:
{√x+2011+√y+2012+√z+2013=√y+2011+√z+2012+√x+2013√y+2011+√z+2012+√x+2013=√z+2011+√x+2012+√y+2013
Chứng minh rằng x=y=z.
1) Đề tuyển sinh vào lớp 10 Chuyên Toán Phổ thông năng khiếu, ĐH Quốc Gia TP. HCM năm học 2013 - 2014
Câu 1:
Cho phương trình: x2−4mx+m2−2m+1=0(1) với m là tham số.
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 phân biệt. Chứng minh rằng khi đó hai nghiệm không thể trái dấu nhau.
b) Tìm m sao cho |√x1−√x2|=1.
Câu 2:
Giải hệ phương trình: {3x2+2y+1=2z(x+2)3y2+2z+1=2x(y+2)3z2+2x+1=2y(z+2).
Câu 3:
Cho x,y là hai số không âm thỏa mãn x3+y3≤x−y.
a) Chứng minh rằng: y≤x≤1.
b) Chứng minh rằng: x3+y3≤x2+y2≤1.
Câu 4:
Cho M=a2+3a+1 với a là số nguyên dương.
a) Chứng minh rằng mọi ước của M đều là số lẻ.
b) Tìm a sao cho M chia hết cho 5. Với những giá trị nào của a thì M là lũy thừa của 5.
Câu 5:
Cho ΔABC có góc A=60o. Đường tròn (I) nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh BC,CA,AB lần lượt tại D,E,F. Đường thẳng ID cắt EF tại K, đường thẳng qua K song song BC cắt AB,AC lần lượt tại M,N.
a) Chứng minh rằng IFMK và IMAN là tứ giác nội tiếp.
b) Gọi J là trung điểm BC. Chứng minh A,K,J thẳng hàng.
c) Gọi r là bán kính đường tròn (I) và S là diện tích tứ giác IEAF. Tính S theo r và chứng minh SIMN≥S4.
Câu 6:
Trong một kì thi, 60 thí sinh phải giải 3 bài toán. Khi kết thúc kì thi, người ta nhận thấy rằng: với hai thí sinh bất kì luôn có ít nhất một bài toán mà cả hai thí sinh đó đều giải được. Chứng minh rằng:
a) Nếu có một bài toán mà mọi thí sinh đều không giải được thì phải có một bài toán khác mà mọi thí sinh đều giải được.
b) Có một bài toán mà có ít nhất 40 thí sinh giải được.
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét