Tuyển tập Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán lớp 12 năm 2013 - Phần 2

Tiếp theo Phần 1.
Vì số lượng đề thi nhiều và để tăng tốc độ tải trang nên chúng tôi tách thành hai phần.
23. Đề thi học sinh giởi thành phố Hồ Chí Minh 2013 - 2014
Ngày 1.
Bài 1: Giải hệ phương trình $$\begin{cases} x^2+y^2+xy+1=4y \\ y(x+y)^2=2x^2+7y+2\end{cases}$$
Bài 2: Cho dãy $(x_n)$ thỏa $$\begin{cases} x_1 = a>1 \\ 2014x_{n+1}=x_n^2+2013x_n\end{cases}$$
Tìm $$\lim \left ( \frac{x_1}{x_2-1}+\frac{x_2}{x_3-1}+...+\frac{x_n}{x_{n+1}-1}\right)$$
Bài 3: Tìm số thực $p,q$ sao cho phương trình $x^2+px+1=0$ và $x^2+qx+2=0$ có nghiệm chunng và $A=2|p|+3|q|$ nhỏ nhất.
Bài 4: Cho tam giác ABC cân nội tiếp (O), M di động trên (O). M không thuộc AO. Đường thẳng vuông góc AM tại M cắt BC tại N. Đường trung trực của MN cắt AB, AC lần lượt tại E,F. Tìm quỹ tích trọng tâm tam giác AEF.
Bài 5: Tìm $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa $$f(2013f(x+y)) = f(x+y) +2013f(x)f(y) - \frac{xy}{2013}$$
Ngày 2
Bài 1: Tìm các đa thức $f(x), g(x)$ hệ số nguyên thỏa $$f(g(x)) = x^{2013}+2014x+1 \ \forall x \in \mathbb{R}$$
Bài 2: Cho $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ là các số thực thỏa $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=0$ và $\max_{1 \le i \le j \le 5} |a_i -a_j| \le 1$. Chứng minh $$a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_5^2 \le 10$$
Bài 3: Một tam giác nguyên là tam giác có độ dài các cạnh là số nguyên. Tìm các tam giác nguyên có chu vi bằng diện tích.
Bài 4: Cho tam giác ABC không cân có M,N,P lần lượt là trung điểm BC, CA, AB. Đường trung trực của AB và AC cắt AM lần lượt tại D và E. BD cắt CE tại F. Chứng minh APFN nội tiếp.
Bài 5: Có tồn tại hay không một tập con $A$ gồm 2014 phần tử của tập $S = \{1;2;...;3020\}$ thỏa $2x \notin A \ \forall x \in A$?

24. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Thái Bình năm học 2013 - 2014
Ngày 1
Câu 1
Giải phương trình trên tập số thực :
$2013^{x^3-y^3-3x^2-3y^2-9x+9y+22}+2013^{x^2+y^2-x+y-\frac{1}{2}}=x^3-y^3-2x^2-2y^2-10x+10y+\frac{47}{2}$
Câu 2:
Cho dãy số nguyên $(a_n)$ xác định như sau :
$\left\{\begin{matrix} a_0=1,a_1=3,a_2=5\\ a_{n+3}=2a_{n+2}+2a_{n+1}-a_n \end{matrix}\right.$
Tìm số nguyên $k$ sao cho $4a_na_{n+1}+k$ là số chính phương với mọi $n$ nguyên dương
Câu 3
Cho tam giác $ABC$ đều, $M,P$ lần lượt thuộc $AB$ và $BC$ sao cho $MP$ song song $AC$. Gọi $D$ là trọng tâm $MPB$ và $E$ là trung điểm $AP$. Tính số đo các góc $\Delta DEC$
Câu 4
Cho thất giác lồi $ABCDEFG$ có các cạnh và các đường chéo $AC,AD,AE,AF$ có độ dài không vượt quá $\sqrt{3}$ bên trong thất giác lồi lấy 2014 điểm phân biệt trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng.
1, Chứng minh rằng tồn tại 1 hình tròn đơn vị có tâm nằm trên cạnh của thất giác và chứa ít nhất 288 điểm đã cho
2, Xét tất cả các tam giác tạo thành bởi 3 trong 2014 điểm trên, chứng minh số tam giác đó chứa ít nhất là 30% tam giác không nhọn.
Ngày 2
Câu 5
Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ với hệ số thực thoả mãn điều kiện :
$$(P(x))^2-2=2P(2x^2-1)$$
Câu 6
Cho tam giác ABC. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tâm I và tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại A', B', C'. Gọi (C) là đường tròn tâm I nằm trong tam giác ABC. D, E, F lần lượt là các giao điểm của (C) với IA', IB', IC'.
Chứng minh rằng AD, BE, CF đồng quy
Câu 7
Cho $p$ là số nguyên tố lẻ. Tìm tất cả hàm số $f: \mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ sao cho với mọi $m,n\in \mathbb{Z}$ ta có :
1, Nếu $m\equiv n\pmod{p}$ thì $f(m)=f(n)$
2, $f(mn)=f(m)f(n)$
Câu 8
Chứng minh rằng trong 18 người bất kì luôn tồn tại 4 người đôi 1 quen nhau hoặc đôi 1 không quen nhau.

25. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Thái Nguyên năm học 2013 - 2014
Câu 1. Cho hàm số $y = \dfrac{2x - 1}{{x - 1}}$, $(C)$. Gọi $I$ là giao điểm hai đường tiệm cận của $(C)$. Với giá trị nào của $m$, đường thẳng $y = - x + m$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ và tam giác $IAB$ đều.
Câu 2.

1. Giải phương trình sau trên tập số thực $$5\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = 4\sin \left( {\frac{{5\pi }}{6} - x} \right) - 9.$$
2. Giải hệ phương trình sau trên tập số thực $$\left\{ \begin{array}{l} \sqrt {7x + y} - \sqrt {2x + y} = 4\\ 2\sqrt {2x + y} - \sqrt {5x + 8} = 2 \end{array} \right.$$

Câu 3. Cho tam giác $ABC$ không đều thỏa mãn ${a^2} = 4S.\cot A$, trong đó $BC = a$ và $S$ là diện tích tam giác $ABC$. Gọi $O$ và $G$ theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm tam giác $ABC$. Tính góc giữa hai đường thẳng $AG$ và $OG$.
Câu 4. Cho dãy số $\left\{ {{x_n}} \right\}$ xác định như sau: ${x_1} = \sqrt 3$ và
$${x_{n + 1}} = \sqrt {9x_n^2 + 11{x_n} + 3}, \left( n \in \mathbb{N}^* \right)$$
Tìm $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}}$.
Câu 5. Cho $x, y, z$ là các số thực dương thay đổi thỏa mãn $x + y + z = 3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$P = \frac{{xy}}{{3x + 4y + 2z}} + \frac{{yz}}{{3y + 4z + 2x}} + \frac{{zx}}{{3z + 4y + 2y}}.$$

26. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Sơn La năm học 2013 - 2014
Câu 1.

1. Tìm hệ số của số hạng không chứa $x$ trong khai triển nhị thức Niu-tơn $\left( \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}} + x\sqrt[3]{x^2} \right)^n$ biết rằng tổng các hệ số của các số hạng trong khai triển này là $a_0 + a_1 +... + a_n = 4096$.
2. Cho phương trình $x^3-3x+1=0$. Chứng minh rằng phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

Câu 2.

1. Chứng minh rằng nếu $n$ là số nguyên và $n \ge 1$ thì:
   $$\left(1+\dfrac{1}{n+1} \right)^{n+1} > \left(1+\dfrac{1}{n} \right)^n.$$
2. Tìm giới hạn sau:
   $$L = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\dfrac{1-\sin^{m+n+p}{x}}{\sqrt[3] {\left(1- \sin^m{x} \right) \left( 1- \sin^n{x} \right) \left( 1- \sin^p{x}\right) }}$$
   Với $m,n,p \in \mathbb{N}^{*}$.

Câu 3 Cho hàm số : $y= \dfrac{x^4}{2} = 3x^2 + \dfrac{5}{2} (C)$ và điểm $M \in (C)$ có hoành độ $x_M = a$. Với giá trị nào của $a$ thì tiếp tuyến của $(C)$ tại $M$ cắt $(C)$ ở hai điểm phân biệt khác $M$.
Câu 4 Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $SA = h$ và $SA \perp (ABCD)$. $M$ là điểm thay đổi trên cạnh $CD$. Đặt $CM = x$.

1. Hạ $SH \perp BM$. Tính $SH$ theo $a, h$ và $x$.
2. Xác định vị trí của $M$ để thể tích tứ diện $SABH$ đại giá trị lớn nhất. Tìm GTLN đó.

Câu 5 (4 điểm)
Cho tam giác $ABC$ biết $\sin{A}^2 + \sin{B}^2 = k \sin{C}^2$ với $k > \dfrac{1}{2}$. Tìm giá trị lớn nhất của $\sin C$.

27. Đề thi chọn đội tuyển Hải Phòng năm 2013-2014.
Ngày 1.
Câu 1. Cho dãy số $(x_n)$ thỏa $x_1=1$ và
$$x_{n+1}=20+\frac{13}{x_n},\forall n\geq 1.$$
Chứng minh rằng dãy $(x_n)$ hội tụ. Tính $\lim x_n$.

Câu 2. Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$ cố định. Điểm $C$ di chuyển trên đường tròn ($C$ khác $A$ và $B$). Dựng đường cao $CD$ của tam giác $ABC$. Đường tròn $(J)$ tiếp xúc với các đoạn thẳng $AD$ và $CD$, đồng thời tiếp xúc trong với đường tròn $(O)$ tại $E$. Gọi $F$ là giao điểm của đường phân giác góc $\widehat{ACD}$ và $\widehat{AEB}$. Chứng minh rằng $F$ nằm trên một đường thẳng cố định.
Câu 3. Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa $xy+yz+zx=\sqrt{xyz}$. CHứng minh rằng
$$\frac{x^{2014}}{1-x}+\frac{y^{2014}}{1-y}+\frac{z^{2014}}{1-z}<\frac{1}{3.4^{2013}}.$$
Câu 4. Trong một phòng thi có $n$ ($n\geq 2$) thí sinh được xếp xung quanh một bàn tròn. Trong ngân hàng đề có $4$ loại đề khác nhau, mỗi loại có nhiều hơn $n$ bản. Một cách phát đề được gọi là hợp lệ nếu mỗi thí sinh chỉ nhận một đề và khác loại đề hai thí sinh ngồi cạnh. Hỏi có nhiều nhất bao nhiêu thí sinh biết rằng số cách phát đề hợp lệ không quá $2013$?
Ngày 2
Câu 1. Cho $a,b$ là hai số tự nhiên thỏa mãn $1\leq a\leq b$, đặt $M=\left[\dfrac{a+b}{2}\right]$. Gọi $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ là hàm số xác định bởi
$$f(n)=\begin{cases}n+a,\quad \text{ nếu } n<M\\ n-b,\quad \text{ nếu } n\geq M\end{cases}.$$
Đặt $f^1(n)=f(n), f^{i+1}(n)=f(f^i(n))$. Tìm số $k$ nhỏ nhất thỏa mãn $f^k(0)=0$.
Câu 2. Cho hai đường tròn $(O_1)$ và $(O_2)$ cắt nhau tại $A$ và $B$ ($O_1$ và $O_2$ nằm về hai phía so với $AB$). Một đường thẳng thay đổi qua $A$ cắt $(O_1),(O_2)$ lần lượt tại $C,D$ khác $A$ ($A$ nằm giữa $C,D$). Gọi $P,Q$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $B$ xuống tiếp tuyến tại $C$ của $(O_1)$ và tiếp tuyến tại $D$ của $(O_2)$. Chứng minh rằng đường thẳng $PQ$ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
Câu 3. Cho $p$ là số nguyên tố có dạng $4k+3$, ($k\in\mathbb{Z}$). Hãy tìm số dư của phép chia
$$(1^2+1)(2^2+1)(3^2+1)....((p-1)^2+1) \text{ cho } p.$$
Câu 4. Trong mỗi ô của bảng $2013\times 2013$ ô vuông, ta điền một số thực bất kỳ trong đoạn $[-1;1]$ sao cho tổng bốn số trong mỗi bảng vuông con $2\times 2$ đều bằng $0$. Hỏi tổng tất cả các số trong bảng $2013\times 2013$ đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu?

28. Đề thi chọn đội tuyển tỉnh Bình Định năm học 2013-2014.
Bài 1. Giải hệ phương trình: $$\left\{\begin{matrix} \frac{2xy+y\sqrt{x^2-y^2}}{14} =\sqrt{\frac{x+y}{2}}+\sqrt{\frac{x-y}{2}}& & \\ \sqrt{\left ( \frac{x+y}{2} \right )^3}+\sqrt{\left ( \frac{x-y}{2} \right )^3}=9& & \end{matrix}\right.$$
Bài 2. Cho tập $M=\left\{1,2,3,...,2013,2014\right\}$
$a.$ Lấy ngẫu nhiên ra hai số trong tập $M$. Tính xác suất để mỗi số trong hai số đó chia hết cho ít nhất một trong các số $2,3,13$
$b.$ Có bao nhiêu cách chọn ra hai tập hợp con của $M$ (không kể thứ tự) mà giao của chúng có duy nhất một phần tử ?
Bài 3. Cho dãy $(U_n)$ xác định bởi:$-1<U_0<1,U_n=\sqrt{\frac{1+U_{n-1}}{2}}$
Với $n=1,2,...$
Hai dãy $(V_n)$ và $(W_n)$ được xác định như sau:$V_n=4^n(1-U_n)$ và $W_n=U_1U_2...U_n$
Tìm $\lim V_n$ và $\lim W_n$
Bài 4.
$1.$ Cho tam giác $ABC$. Các đường phân giác $BD,CE$ của tam giác cắt nhau tại $I$.
Chứng minh rằng: Tam giác $ABC$ vuông khi và chỉ khi $S_{BCDE}=2S_{BIC}$
$2.$ Cho hình chóp $SABC$ trong đó $SA,SB,SC$ vuông góc với nhau từng đôi một. Trên các tia $SA,SB,SC$ lần lượt lấy các điểm $A',B',C'$ sao cho: $SA.SA'=SB.SB'=SC.SC'$. Vẽ $SH\perp (A'B'C')$ cắt $(ABC)$ tại $G$
$a.$ Chứng minh rằng $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$
$b.$ Cho $SA=a,SB=b,SC=c$. Gọi $r$ là bán kình mặt cầu nội tiếp hình chóp $SABC$.
Chứng minh: $$r=\frac{S_{SAB}+S_{SBC}+S_{SCA}-S_{ABC}}{a+b+c}$$
Bài 5. Tìm $m$ để hệ sau có nghiệm: $$\left\{\begin{matrix} \log_{x^2+y^2}(x-y)\geq 1 & & \\ x-2y=m & & \end{matrix}\right.$$

29. Đề thi chọn đội tuyển ĐH Khoa học tự nhiên Hà Nội năm học 2013-2014.
Ngày thi thứ nhất: 

Bài 1. Cho dãy số $(a_n)$ thỏa mãn: $a_1=3, a_2=17, a_3=99$ và
      $a_{n+1}=\frac{a_n^{2}+a_{n-1}^{2}-1}{a_{n-2}}$.
Chứng minh rằng $a_{2014}+1$ là số chính phương.

Bài 2. Cho tập hợp $S={1,2,3,...,2014}$. Tìm số cách chọn ra từ tập $S$ $m$ số chẵn và $n$ số lẻ sao cho trong các số vừa chọn, không có hai số hơn kém nhau $1$ đơn vị.

Bài 3. Cho tam giác $ABC$, tâm ngoại tiếp $O$.Phân giác trong góc $A$ cắt cạnh $BC$ tai điểm $D$. $P$ và $Q$ là $2$ điểm di chuyển trên đoạn $AD$ sao cho thỏa mãn: $\widehat{CBP}=\widehat{ABQ}$. Gọi $R$ là hình chiếu của $Q$ trên cạnh $BC$, $d$ là đường thẳng qua $R$ vuông góc với $OP$. Chứng minh rằng khi $P, Q$ di chuyển trên $AD$ thì các đường thẳng $d$ luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 4. Có tồn tại hay không một tập hữu hạn các điểm xanh và đỏ trong mặt phẳng sao cho với mọi đường tròn đơn vị có tâm là một điểm xanh đều có đúng $10$ điểm đỏ, và số điểm xanh nhiều hơn số điểm đỏ.

Ngày thi thứ hai: 

Bài 1. Tìm các số nguyên $m,n$ thỏa mãn điều kiện $2n^{2}+3|m^{2}-2$

Bài 2. Tìm tất cả các hàm số $f: R\rightarrow R$ thỏa mãn điều kiện sau:
$f(x+y)+f(x)f(y)=f(x)+f(y)+f(xy)+2xy$ với mọi số thực $x,y$

Bài 3. Cho lục giác $ABCDEF$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $M,L,K$ là tâm đường tròn Ơle các tam giác $CDE, EFA, ABC$. Gọi $X,Y,Z$ là hình chiếu của $M,L,K$ trên các đường thẳng $AD,CF,EB$. Chứng minh rằng trung trực các đoạn thẳng $AX,CY,EZ$ đồng quy.

Bài 4. Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 2$.
Tìm giá trị lớn nhất của
  $A=(|a-b|+\sqrt{6})(|b-c|+\sqrt{6})(|c-a|+\sqrt{6})$.

30. Đề thi chọn đội tuyển ĐH Sư phạm Hà Nội năm học 2013-2014.
Câu 1. Cho dãy số $(x_n)$ thỏa mãn $x_1=1$ và :
$$x_{n+1}=\sqrt{x_n^2+2x_n+2}-\sqrt{x_n^2-2x_n+2}\,\,\,\forall n\in\mathbb{N}^{*}$$
Chứng minh rằng dãy số $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn khi $n\to +\infty$
Câu 2. Tìm tất cả nghiệm thực của hệ :
$$\left\{\begin{matrix} x+x^2y=y+2\\ (2x+y)^2+3y^2=12 \end{matrix}\right.$$
Câu 3. Cho tam giác nhọn ABC và các đường cao AD, BE, CF. Các đường tròn đường kính AB, AC theo thứ tự cắt tia DF, DE tại Q, P. Gọi N là tâm ngoại tiếp tam giác DEF. Chứng minh rằng :
a) AN $\perp$ PQ
b) AN, BP, CQ đồng quy
Câu 4. Cơ sở dữ liệu tạp chí của thư viện Quốc Gia có đúng 2016 loại khác nhau . Thư viện này cho phép 2013 thư viện địa phương kết nối để có thể khai thác cơ sở dữ liệu tạp chí của nó. Biết mỗi thư viện địa phương được phép khai thác ít nhất 1008 loại tạp chí khác nhau và 2 thư viện địa phương bất kì có tối đa 504 loại tạp chí mà cả 2 thư viện địa phương đó cùng đc phép khai thác. Chứng minh rằng không có quá 1 loại tạp chí trong cơ sở dữ liệu của thư viện Quốc Gia mà cả 2013 thư viện địa phương đều không thể khai thác được.


Tiếp tục cập nhật...