Tuyển tập Đề thi học sinh giỏi Toán năm học 2013 - 2014

1. Đề thi học sinh giỏi thành phố Hà Nội năm học 2013 - 2014

2. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Bắc Giang năm học 2013 - 2014

Câu 1 (4 điểm)

Giải hệ phương trình

$$\left\{\begin{matrix} 3x^{2}-8x+2(x-1)\sqrt{x^{2}-2x+2}=2(y+2)\sqrt{y^{2}+4y+5} & & \\ x^{2}+2y^{2}=4x-8y-6 & & \end{matrix}\right.$$

Câu 2 (4 điểm)

Cho ba số dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=3$.CMR

$$a\sqrt{\frac{b+c}{a^{2}+bc}}+b\sqrt{\frac{c+a}{b^{2}+ca}}+c\sqrt{\frac{a+b}{c^{2}+ab}}\leq \frac{3}{abc}$$

Câu 3 (4 điểm)

Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{ABC}<\widehat{BAC}$. Trên đường thẳng $BC$ lấy điểm $D$ thỏa mãn $\widehat{CAD}=\widehat{ABC}$.Đường tròn $(O)$ bất kì đi qua $B,D$ cắt $AB,AD$ lần lượt tại $M,N$ .Kẻ hai tiếp tuyến $AP,AQ$ với $(O),P,Q$ thuộc $(O)$. Gọi $G$ là giao điểm của $BN$ và $DM$, gọi $I$ là trung điểm của $AG$.

a/ CMR: $P,Q,G$ thẳng hàng.

b/ CMR: $CI$ vuông góc với $AG$.

Câu 4 (4 điểm)

Cho dãy số $(x_{n})$ thỏa mãn

$$\left\{\begin{matrix} x_{1}=0,x_{2}=1 & & \\ x_{n+1}=\frac{3x_{n-1}+2}{10x_{n}+2x_{n-1}+2},n\geq 2 & & \end{matrix}\right.$$

Chứng minh rằng dãy $(x_{n})$ có giới hạn và tìm $lim x_{n}$

Câu 5 (4 điểm)

Tìm cặp các số nguyên $(a,b)$ sao cho

$$\frac{b^{2}+ab+a+b-1}{a^{2}+ab+1}$$

là một số nguyên.

3. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Lâm Đồng năm học 2013 - 2014
Bài 1: Giải hệ phương trình
$$\left\{ \begin{matrix} 8{{x}^{3}}+2y=\sqrt{y+5x+2} \\ \left( 3x+\sqrt{1+9{{x}^{2}}} \right)\left( y+\sqrt{1+{{y}^{2}}} \right)=1 \\ \end{matrix} \right.$$ .

Bài 2: Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương thỏa $abc=1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$$P=\frac{bc}{{{a}^{2}}b+{{a}^{2}}c}+\frac{ca}{{{b}^{2}}c+{{b}^{2}}a}+\frac{ab}{{{c}^{2}}a+{{c}^{2}}b}$$

Bài 3:
1) Cho hai đường tròn $\left( {{O}_{1}} \right)$ và $\left( {{O}_{2}} \right)$ lần lượt có bán kính là ${{R}_{1}},{{R}_{2}}\left( {{R}_{1}}<{{R}_{2}} \right)$ tiếp xúc trong tại $A$. Gọi $M$ là điểm di động trên $\left( {{O}_{1}} \right)$ ($M$ khác $A$), tiếp tuyến của $\left( {{O}_{1}} \right)$ tại $M$ cắt $\left( {{O}_{2}} \right)$ tại $B$ và $C$. Gọi $M'$ ($M'$ khác $A$) là giao điểm của $AM$ với $\left( {{O}_{2}} \right)$.
a) Chứng minh $AM’$ là đường phân giác của góc $\widehat{ABC}$ .
b) Tìm quỹ tích tâm $I$ của đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

2) Cho đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I$ và đường kính $AB$, trên đoạn $IB$ lấy điểm $C$ ($C$ khác $I$ và $B$). Đường thẳng $(d)$ vuông góc với $AB$ tại $C$ và $H$ là điểm thay đổi trên $(d)$. Đường thẳng $AH$ cắt đường tròn $\left( C\right)$ tại điểm $D$ và đường tròn $BH$ cắt đường tròn $\left( C\right)$ tại $E$. Chứng minh đường thẳng $DE$ luôn đi qua điểm cố định.

Bài 4: Cho dãy số $\left( {{x}_{n}} \right),n=1,2,3,...$ xác định bởi
$$\left\{ \begin{matrix} {{x}_{1}}=1 \\ {{x}_{n+1}}=\sqrt{{{x}_{n}}\left( {{x}_{n}}+1 \right)\left( {{x}_{n}}+2 \right)\left( {{x}_{n}}+3 \right)+1}\end{matrix} \right.,n=1,2,3,...$$
a) Chứng minh : $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}_{n}}=+\infty$
b) Tìm $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{{{x}_{k}}+2}}$

Bài 5: Tìm tất cả hàm số liên tục $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ sao cho
$$f\left( x \right)+f\left( {{x}^{4}} \right)=4026+x+{{x}^{4}}$$  


4. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Đồng Tháp năm học 2013 - 2014

Câu 1:

a) Giải phương trình $(2cos x-1)(sinx+cosx)=1$

b) Cho $a,b,c$ là số thực dương. Chứng minh rằng ta có

$$\frac{2}{(a+b)^2}+\frac{2}{(b+c)^2}+\frac{2}{(a+c)^2}\geq\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}$$

Câu 2:

a) Chứng minh nếu $p$ là số nguyên tố dạng $4k+3$ thì không tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho $n^2+1$ chia hết cho $p$

b) Giải phương trình nghiệm nguyên $(x+y)^2+2=2x+2013y$.

Câu 3:

Cho dãy $a_n$ thoả $a_1=\dfrac{1}{2}$, $a_{n+1}=a_n+ \dfrac{n^2}{2013}$, $n \geq 1$

a) Chứng minh dãy tăng nhưng không bị chặn trên

b) Đặt $S_n=\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{a_1+2013}.$ Tìm $\lim_{n\to +\propto} S_n$

Câu 4:

Tam giác $ABC$ nhọn có $H$ là trực tâm, $AH,BH,CH$ lần lượt cắt $BC,CA,AB$ tại $M,N,P$. $AE$ và $MF$ cùng vuông gọc với $NP$ (trong đó $E$, $F$ thuộc $NP$)

a) Chứng minh rằng $H$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $MNP$ và $A$ là tâm đường tròn bàng tiếp góc $M$ của $MNP$

b) Chứng minh $EH$ đi qua trung điểm của $MF$

Câu 5:

Cho dãy các phân số: $\dfrac{1}{1},\dfrac{1}{2},...,\dfrac{1}{2012},\dfrac{1}{2013}$. Người ta biến đổi dãy bằng cách xoá đi $2$ số $a,b$ bất kì và thay bằng số $a+b+ab$. Sau một lần biến đổi các số hạng giảm đi $1$ đơn vị so với dãy trước. Chứng minh rằng giá trị của số hạng cuối sau $2012$ lần biến đổi không phụ thuộc vào thứ tự thực hiện và tìm giá trị đó.

5. Đề thi học sinh giỏi thành phố Đà Nẵng năm học 2013 - 2014 Xem và thảo luận tại đây/


6. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Quảng Bình năm học 2013 - 2014
Câu 1 (4.0 điểm)
Giải phương trình $x=\sqrt{3-x}.\sqrt{4-x}+\sqrt{4-x}.\sqrt{5-x}+\sqrt{5-x}.\sqrt{3-x}$
Câu 2 (4.0 điểm)
Cho a là số thực dương tùy ý. Xét dãy số $({{x}_{n}})$ được xác định như sau:
$${{x}_{1}}=a\,;\,\,{{x}_{n+1}}=\frac{{{x}_{n}}\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}}{{{x}_{n}}+1},$$ (tử số có n dấu căn); $\forall n=1,2,3...$
Tính giới hạn của dãy số $({{x}_{n}})$.
Câu 3 (4.0 điểm)
Tìm các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn:
$\frac{1}{2}f(xy)+\frac{1}{2}f(xyz)-f(x)f(yz)\ge \frac{1}{4},\forall x,y,z\in \mathbb{R}$.
Câu 4 (4.0 điểm)
Cho tam giác $ABC$ và $M, N$ là hai điểm di động trên đường thẳng $BC$ sao cho $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BC}$. Đường thẳng $d_1$ đi qua $M$ và vuông góc với $AC$, đường thẳng $d_2$ đi qua $N$ và vuông góc với $AB$. Gọi $K$ là giao điểm của $d_1$ và $d_2$. Chứng minh rằng trung điểm $I$ của đoạn $AK$ luôn nằm trên một đường thẳng cố định.
Câu 5 (4.0 điểm)
Chứng minh rằng trong 39 số tự nhiên liên tiếp bất kỳ luôn có ít nhất một số có tổng các chữ số chia hết cho 11.
Câu 6 (5,0 điểm).
Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{align} & 9{{y}^{4}}+24{{y}^{3}}-x{{y}^{2}}+7{{y}^{2}}=16-x+24y \\ & 8{{y}^{3}}+9{{y}^{2}}+20y-\sqrt[3]{6y+1}+15=x \\ \end{align} \right.\,\,(x,y\in \mathbb{R}\,)$

Câu 7 (5,0 điểm).
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: $xyz = 8$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
$P=\frac{1}{{{\left( 1+x \right)}^{3}}}+\frac{8}{{{\left( 2+y \right)}^{3}}}+\frac{64}{{{\left( 4+z \right)}^{3}}}$.
Câu 8 (5,0 điểm).
Cho hai đường tròn $(I)$ và $(J)$ cắt nhau tại $A$ và $B$ sao cho $IA\perp JA$. Đường thẳng $IJ$ cắt hai đường tròn tại $C, E, D, F$ sao cho các điểm $C, I, E, D, J, F$ nằm trên đường thẳng theo thứ tự đó. $BE$ cắt đường tròn $(I)$ tại điểm thứ hai $K$ và cắt $AC$ tại $M$. $BD$ cắt đường tròn $(J)$ tại điểm thứ hai $L$ và $AF$ tại $N$.
a) Chứng minh rằng: $MN\bot AB$.
b) Chứng minh rằng: $KE.LN.ID=JE.KM.LD$.
Câu 9 (5,0 điểm).
Cho các số nguyên dương $n, k, p$ với $k\ge 2$ và $k\left( p+1 \right)\le n$. Cho n điểm phân biệt cùng nằm trên một đường thẳng. Tô n điểm đó bằng hai màu xanh, đỏ (mỗi điểm chỉ tô đúng một màu). Tìm số cách tô màu khác nhau, sao cho các điều kiện sau đồng thời được thỏa mãn:
1) Có đúng k điểm được tô bởi màu xanh.
2) Giữa hai điểm màu xanh liên tiếp (tính từ trái qua phải) có ít nhất p điểm được tô màu đỏ.
3) Ở bên phải điểm tô màu xanh cuối cùng có ít nhất p điểm được tô màu đỏ.
(Hai cách tô màu được gọi là khác nhau nếu có ít nhất một điểm được tô màu khác nhau trong hai cách đó).

7. Đề thi chọn đội tuyển trường PTNK, Tp. Hồ Chí Minh năm học 2013 - 2014. Xem và thảo luận tại đây/

8. Đề thi học sinh giỏi Tp. Cần Thơ năm học 2013 - 2014

Câu 1: Giải hệ phương trình sau:

$$\left\{\begin{matrix} x^3+3xy^2=25 & & \\x^2+6xy+y^2=10x+6y-1 & & \end{matrix}\right.(x,y\in\mathbb{R})$$

Câu 2: Cho tam giác $ABC$ có ba góc đều nhọn, $AB<AC$, $AH$ là đường cao và $AD$ là đường phân giác trong. Gọi $E, F$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $D$ trêm các cạnh $AC$ và $AB, M$ là giao điểm của $BE$ và $CF$.

1. Chứng minh ba điểm $A, M, H$ thẳng hàng.

2. Gọi $K$ là giao điểm của $EF$ và $BC$. Chứng minh $\frac{HB}{HC}=\frac{KB}{KC}$.

3. Gọi $N$ là giao điểm của $BC$ với đường kính qua $A$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Chứng minh : $\frac{HB}{HC}\frac{NB}{NC}<1$

Câu 3: Cho $a, b, c$ ;à ba số nguyên khác không và thỏa mãn $a^2b+b^2c+c^2a=3abc(1)$

1. Hãy chỉ ra một bộ số nguyên $a, b, c$ đôi một khác nhau thỏa$(1)$

2. Chứng minh $abc$ là lập phương của một số nguyên.

Câu 4: Cho các đa thức $P(x), Q(x)$ với hệ số thức thỏa mãn điều kiệm $P(x)=Q(x)+Q(1-x),\forall x\in\mathbb{R}$. Biết $P(0)=0$ và các hệ số của $P(x)$ đều không âm. Tính $P(P(2013))$.

Câu 5: Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{Z}\mapsto \mathbb{Z}$ thỏa mãn các điều kiện :

$$\left\{\begin{matrix} f(0)=1 & & \\f \left ( f(m+n) +m\right )=n & & \end{matrix}\right.\forall m, n\in\mathbb{Z}$$

Câu 6: Một bảng ô vuông không giới hạn số dòng, số cột và trên đó mới chỉ ghi hai số $1$ và $3$ vào hai ô khác nhau. Ta thực hiện trò chơi viết thêm số vào các ô vuông như sau: nếu trên bảng có hai số tự nhiên $a$ và $b$ thì được phép viết thêm số $c=a+b+ab$ vào ô vuông còn trống trên bảng. Hỏi bằng cách đó trên bảng có thể xuất hiện được các số $2509$ và $20132014$ hay không? Giải thích tại sao?

9. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Long An 2013
Câu I (5,0 điểm).
1. Giải phương trình $x^2+6x+1=\left(2x+1 \right)\sqrt{x^2+2x+3}$
2. Giải hệ phương trình $$\left\{\begin{matrix}x^3+2x^2=5-2y & \\ \left(15-2x \right)\sqrt{6-x}-\left(4y+9 \right)\sqrt{2y+3}=0 \end{matrix}\right.$$
Câu II (5,0 điểm).
1. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$ cho tam giác $ABC$ cân tại $A$, cạnh $AB$ và $BC$ lần lượt nằm trên các đường thẳng $x - 2y + 1 = 0$, $x - y = 0$. Tìm toạ độ các đỉnh $A$ và $C$ biết bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ bằng $5\sqrt{2}$.
2. Cho tam giác $ABC$, gọi $D$ là điểm đối xứng của $C$ qua $AB$, vẽ đường tròn tâm $D$ qua $A$ và $B$. Gọi $M$ là điểm bất kì trên đường tròn đó. Chứng minh rằng $MA^2+MB^2=MC^2$.
Câu III (4,0 điểm).
Cho số thực $\alpha \in \left(0;1 \right)$, xét dãy số $\left(u_{n} \right)$ với
$$\left\{\begin{matrix}u_{1}=\alpha & \\ u_{n+1}=\frac{1}{2014}u_{n}^{2}+\frac{2013}{2014}\sqrt{u_{n}} \end{matrix}\right.$$
1. Chứng minh rằng $0<u_{n}<1$
2. Chứng minh rằng dãy số $\left(u_{n} \right)$ có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.
Câu IV (3,0 điểm). Cho ba số thực dương a,b,c thoả mãn $\frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}\geq 1$. Chứng minh rằng $$abc\leq 1.$$
Câu V (3,0 điểm).
Cho phương trình $\sqrt{21+4x-x^2}-\frac{3}{4}x+3=m\left(\sqrt{x+3}+2\sqrt{7-x} \right)$. Tìm m để phương trình có nghiệm.

10. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Quảng Nam 2013. Xem và thảo luận tại đây.

11. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Bình Phước năm 2013 - 2014. Xem và thảo luận tại đây.

12. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Lạng Sơn 2013

Câu 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số:

$$y=2x^2-4x+6\sqrt{(x+4)(6-x)}+3$$

trên đoạn $[-4;6]$.

Câu 2.

Giải phương trình:

$$\sin 3x + \sin 2x + \sin x + 1 = \cos 3x + \cos 2x - \cos x$$

Câu 3.

Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix}x^3-3x^2+6x-4=y^3+3y\\ \sqrt{x-3}+\sqrt{y+1}=3 \end{matrix}\right.$$

Câu 4.
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$, cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ là trung điểm $H$ của đoạn thẳng $AO$. Biết $SH=2a$.
a) Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng $(SCD)$ và $(ABCD)$.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$.
Câu 5.
Cho dãy số $(a_n)$ xác định như sau:
$$\left\{\begin{matrix}a_1&=&5 \\ a_{n+1} &=& \frac{a_n^2-2a_n+16}{6}\end{matrix}\right.$$
Đặt  $$S = \sum_{i=1}^n\frac{1}{a_i+2}$$
Tìm $\lim S_n$.

13. Đề thi học sinh giỏi tỉnh An Giang 2013
Câu 1. Cho hàm số $y=x^3-3x$ có đồ thị $(C)$ và đường thẳng $(d):y=m(x-1)+2$. Tìm $m$ để $(d)$ cắt $(C)$ tại 3 điểm phân biệt
Câu 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau với $x>0$ $$y=f(x)=2x+\dfrac{1}{x}+\sqrt{2\left(1+\dfrac{1}{ x^2}\right)}$$
Câu 3. Giải phương trình và hệ phương trình sau :
a) $\sin{2x}+\dfrac{1}{2}\tan{x}=\dfrac{3}{2}-\cos{2x}$
b) $\begin{cases} y^2-5\sqrt{x}+5=0 \\ \sqrt{x+2}=\sqrt{y^2+2y+3}-\dfrac{1}{5}y^2+y \end{cases}$
Câu 4. Trong mặt phẳng $Oxy$ cho hai đường thẳng $(\Delta):x-y+2=0$, $(d):3x+y-4=0$ và điểm $A(2;2)$. Viết phương trình đường tròn $(C)$ đi qua điểm $A$ có tâm nằm trên đường thẳng $d$ và tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$.

Câu 5. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA=SB=SD=BD=2a$,$AB=BC=a$, $\widehat{CBD}=2\widehat{ADB}$, $\widehat{ABD}=2\widehat{BDC}$. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ theo $a$.

14. Đề thi học sinh giỏi thành phố Hải Phòng 2013. Xem và thảo luận tại đây


15. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Bắc Ninh 2013. Xem và thảo luận tại đây

16. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Bến Tre 2013
Câu 1.
a) Từ đỉnh $Q$ của một hình bình hành $PQRS$ kẻ các đường thẳng $QE$ vuông góc với $RS$($E$ thuộc đoạn $RS$, $E$ khác $R$ và khác $S$) và $QK$ vuông góc cới $PS$ ($K$ thuộc đoạn $PS$, $K$ khác $P$ và khác $S$). Biết $KE=x$; $QS=y$ ($y>x$). Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $QEK$. Tính $QH$ theo $x$ và $y$.
b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ gọi $(d)$ là đường thẳng cắt parabol $(P)$: $y^2=4x$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ ($A, B$ khác gốc tọa độ $O$) sao cho tam giác $OAB$ vuông tại $O$. Chứng minh rằng đường thẳng $(d)$ luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 2.
a) Cho $f(x)$ là một đa thức với hệ số nguyên. Chứng minh rằng nếu n số $f(0), f(1), f(2), ..., f(n-1)$ đều không chia hết cho $n$ ($n$ là số tự nhiên, $n\ge 2$) thì phương trình $f(x)=0$ không có nghiệm nguyên.
b) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau và tính tổng của tất cả các số vừa tìm.
Câu 3. Giải phương trình và hệ phương trình sau:
a) $\sqrt{x+8}+\dfrac{9x}{\sqrt{x+8}}-6\sqrt{x}=0$.
b) $\left\{ \begin{matrix} {{x}^{2}}=2x-y \\ {{y}^{2}}=2y-z \\ {{z}^{2}}=2z-t \\ {{t}^{2}}=2t-x \\ \end{matrix} \right.$
Câu 4. Có ba trường học mỗi trường có $n$ học sinh. Một học sinh bất kỳ có tổng số người quen từ hai trường học kia là $n+1$. Chứng minh rằng có thể chọn được ở mỗi trường học một học sinh sao cho ba học sinh này quen lẫn nhau.

17. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu 2013
Câu 1. (4 điểm) Giải phương trình sau trên tập số thực
$$8x^3-12x^2+5x=\sqrt[3]{3x-2}.$$

Câu 2. (4 điểm) Cho dãy số $(x_{n})$ xác định bởi $$\left\{\begin{matrix} x_1=2013 & \\ x_{n+1}=\dfrac{x_{n}^{2}+8}{2(x_n-1)},n\in N^* & \end{matrix}\right.$$
Chứng minh dãy số $(x_{n})$ có giới hạn và tìm giới hạn đó.

Câu 3. (4 điểm) Cho tam giác $ABC$ không cân, nội tiếp đường tròn $(O)$. Hai tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $B$ và $C$ cắt nhau tại điểm $I$. Đường thẳng $AI$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $D$ ($D$ khác $A$). Gọi $M,K$ lần lượt là là trung điểm của $BC$ và $AD$. Hai đường thẳng $BK$ và $AM$ lần lượt cắt $(O)$ tại điểm thứ hai là $E,F$.

1. Chứng minh $\widehat{BAD}=\widehat{MAC}$.
2. Chứng minh hai đường thẳng $EF$ và $AB$ song song với nhau.

Câu 4. (4 điểm) Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thoả mãn điều kiện:
$$f(xy+f(x))+f(x-yf(x))=2x, \forall x,y \in \mathbb{R}.$$

Câu 5. (4 điểm) Người ta xếp $2014$ bóng đèn đang bật sáng thành một hàng dài, từ trái sang phải. Hai người cùng thực hiện một trò chơi như sau: Lần lượt từng người chọn tuỳ ý $5$ bóng đèn liên tiếp, trong đó bóng đèn đầu tiên bên trái trong $5$ bóng đèn được chọn phải đang sáng và thay đổi trạng thái của $5$ bóng đèn đó (từ sáng thành tắt và từ tắt thành sáng). Ai không thể thực hiện được nữa thì thua cuộc. Chứng minh rằng đến một lúc nào đó trò chơi phải kết thúc và dù cho có chơi như thế nào thì người đầu tiên luôn thua cuộc.

18. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Đồng Nai 2013
Câu 1.
Cho hàm số $y=x^3+3ax^2+3bx$ (với $a,b$ là hai tham số thực,$x$ là biến thực).Chứng minh rằng đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị A và B thỏa $AB >2$ khi và chỉ khi $2(a^2-b)>1$.
Câu 2.
Giải hệ phương trình: $$\left\{\begin{matrix} x^2y+xy+2x-12y-24=0 & & \\ x^3-y^3=2(x^2+y^2+xy)+3(x-y-2)& & \end{matrix}\right.$$
Câu 3.
Giải phương trình:$cos(2x).cot(2x)=cosx.cotx$
Câu 4.
Cho a,b,c là ba số thực đều lớn 1 thỏa $a+b+c=abc$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{a-2}{b^2}+\frac{b-2}{c^2}+\frac{c-2}{a^2}$.
Câu 5.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh $2a$,với $a>0$.Biết SAB là tam giác đều,góc giữa mp(SCD) và đáy bằng 60 độ.Gọi điểm H là hình chiếu của S lên mặt đáy,H ở trong hình vuông ABCD.Gọi M là trung điểm cạnh AB.
Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo $a$.Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC theo $a$.
Câu 6.
Gọi T là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm có 4 chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7.
Xác định số phần tử của T.Chọn ngẫu nhiên một số phân biệt từ tập T,tính sác xuất để số được chọn là số chia hết cho 6.
19. Đề thi chọn đội tuyển học sinh tỉnh Khánh Hòa năm 2013-2014
Bài 1. Giải phương trình $\tan^23x+2\tan3x.tan4x-1=0\\$
Bài 2. Cho dãy số $(u_n)$ thỏa mãn $u_1=\frac{1}{2}$, $u_{n+1}=u^2_n-u_n$ với mọi $n \in \mathbb{N^*}$. Chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Bài 3. Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao hco $3^n+5$ là số chính phương .
Bài 4. Cho tam giác nhọn $ABC$ có trực tâm $H$. Trên các đoạn $HB,HC$ lần lượt lấy 2 điểm $B_1, C_1$ sao cho $\widehat{AB_1C}=\widehat{AC_1B}=90$ độ. Chứng minh $AB_1=AC_1$.
Bài 5. Cho số nguyên $n>1$. Có tất cả bao nhiêu dãy số $(x_1,x_2,...,x_n)$ với $x_i \in \{a,b,c\}, i=1,2,...,n$ thỏa $x_1=x_n=a$ và $x_i$ khác $x_{i+1}$ khi $i=1,2,...,n-1$.
20. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Yên Bái 2013
Câu 1 
Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x-\frac{1}{x^{3}}=y-\frac{1}{y^{3}}\\ (x-4y)(2x-y+4)=-36 \end{matrix}\right.$
Câu 2 
Giải phương trình: $64\cos^{6}x+56\cos^{2}x=2\sqrt{1-\cos^{2}x}+112\cos^{2}4x+7$, với $x\in \left [ 0;2\pi \right ]$
Câu 3
Cho hai số thực $x,y$ thỏa mãn điều kiện:
$$\left\{\begin{matrix} 3x+y-3\geq 0\\ 3x-y-3\leq 0 \\ 2y-x-6\leq 0 \end{matrix}\right.$$
Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $S=2x(x-1)-4(y+x)+2(y^{2}+x)$
Câu 4
1. Cho tứ giác lồi $ABCD$ biết hai cạnh $AB$ và $BC$ có độ dài không đổi $AB=a$, $BC=b$ và tam giác $ACD$ là tam giác đều.
Tính độ dài $AC$ theo $a$ và $b$ khi $BD$ có độ dài lớn nhất.
2. Trên một khu rừng đủ rộng, người ta trồng nhiều cây thông con. Xem các gốc cây thông là các điểm (đường kính gốc cây không đáng kể). Chứng minh rằng nếu ta trồng cây sao cho các tam giác có đỉnh là các điểm tạo bởi các gốc cây thông đều có diện tích không quá $500 m^2$ thì tồn tại một tam giác có diện tích không quá $2014 m^2$,chứa tất cả các cây thông này.
Câu 5
Tìm hàm số $f:(0;+\propto )\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện:
$$\left\{\begin{matrix} f(1)=\frac{1}{2}\\ f(xy)=f(x).f\left ( \frac{2014}{x} \right )+f(y).f\left ( \frac{2014}{x} \right ),\forall x,y\in (0;+\propto ) \end{matrix}\right.$$
20. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Trà Vinh 2013. Xem và thảo luận tại đây.

21. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Ninh Bình 2013. Xem và thảo luận tại đây.

22. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ 2013
Câu 5: Tìm tất cả các đa thức $P(x), Q(x)$ có hệ số thực với hệ số bậc cao nhất bằng $1$ và thỏa mãn điều kiện
$$P(1)+P(2)+...+P(n)=Q(1+2+...+n),\forall n\in\mathbb{N}^*.$$
Câu 6: Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ có đúng $12$ ước nguyên dương thỏa đồng thời các điều kiện sau

• $1=d_1<d_2<...<d_{12}=n$,
• $d_{d_4-1}=d_8(d_1+d_2+d_4)$.

Câu 7: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, bán kính $R$. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$; $I_a,I_b,I_c$ lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp góc $A,B,C$ của tam giác $ABC$. $X,Y,Z$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $OBC,OCA,OAB$. $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $XYZ$. $P$ đối xứng với $I$ qua $O$. Chứng minh rằng

1. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $I_aI_bI_c$ có tâm là $P$ và bán kính bằng $2R$.
2. Điểm $K$ nằm trên đường thẳng Euler của tam giác $ABC$.